这两个定点叫作双曲线的，两焦点之间的距离叫作双曲线的在双曲线的定义中，条件则动点的轨迹双曲线焦点焦距两条射线不存在双曲线定义中应注意关键词，若去掉定义中三个字，动点轨迹只能是焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点在轴上的双曲线的标准方程为在双曲线的标准方程中的关系为绝对值绝对值双曲线支知识要点解读对双曲线定义的两点说明距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的支若表示双曲线的左右焦点，且点满足，则点在右支上若点满足，则点在左支上在双曲线定义中，规定，若把用表示，则当时，的轨迹为双曲线当时，的轨迹为以，为端点的两条射线当时，动点的轨迹不存在对双曲线标准方程的四点说明只有当双曲线送肥较近，第三类沿或送肥样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹设是界线上的任点，则，即定值故所求界线是在田中确定条界线，使位于界线侧的点沿道路送肥较近而另侧的点则沿送肥较近如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程解析田地中的点可分为三类第类沿送肥近，第二类沿，切点的坐标为根据对称性，当点在双曲线的右支上时，能否由已知，得根据圆的切线长定理及双曲线的定义，可得，即，求的内切圆与边切点的坐标分析充分利用双曲线的定义及切线段相等的性质逐步展开，求出即可解析当点在双曲线的左支上时，如图所示，的内切圆与切于点右焦点为于是当且仅当三点共线时等号成立在双曲线上任取点，与双曲线的两焦点构成最小，由双曲线的图像可知当点共线时最小，易求得的最小值为总结反思注意到本例中点在外面，点在双曲线的右支上，且双曲线的合双曲线的定义及图形寻求“最值”的解决解析设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义知，当最小时需满足般式，利用条件，通过待定系数法求出系数的值，从而可写出双曲线的标准方程双曲线定义的应用已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，求的最小值分析解决本题可结，故所求双曲线的标准方程为总结反思求双曲线的标准方程时，可以根据其焦点的位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出的值若双曲线的焦点的位置难以确定，可设出双曲线方程的，舍去综上，所求双曲线的标准方程为解法二设所求双曲线的方程为将点,代入上述方程，得，解得线上，所以，，解得，所以双曲线的标准方程为若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为同理，有，，解得点的位置不确定，故必须对双曲线的焦点的位置进行讨论本题也可把双曲线方程设为，用待定系数法求解解析解法若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为因为点,在双曲再确定的值与已知双曲线共焦点的双曲线方程可设为已知双曲线通过,两点，求双曲线的标准方程分析因为所求双曲线的焦，所求的双曲线的方程为依题意，设所求的双曲线方程为将，代入得所求的双曲线方程为总结反思利用待定系数法求双曲线的方程，先判定焦点所在的坐标轴，过点，的双曲线与双曲线有公共焦点，且过点，解析由知,设双曲线的方程为，则有析椭圆方程为焦点双曲线与椭圆有相同焦点课堂典例讲练双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程与椭圆共焦点，且过析椭圆方程为焦点双曲线与椭圆有相同焦点课堂典例讲练双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程与椭圆共焦点，且过点，的双曲线与双曲线有公共焦点，且过点，解析由知,设双曲线的方程为，则有，所求的双曲线的方程为依题意，设所求的双曲线方程为将，代入得所求的双曲线方程为总结反思利用待定系数法求双曲线的方程，先判定焦点所在的坐标轴，再确定的值与已知双曲线共焦点的双曲线方程可设为已知双曲线通过,两点，求双曲线的标准方程分析因为所求双曲线的焦点的位置不确定，故必须对双曲线的焦点的位置进行讨论本题也可把双曲线方程设为，用待定系数法求解解析解法若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为因为点,在双曲线上，所以，，解得，所以双曲线的标准方程为若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为同理，有，，解得，舍去综上，所求双曲线的标准方程为解法二设所求双曲线的方程为将点,代入上述方程，得，解得，故所求双曲线的标准方程为总结反思求双曲线的标准方程时，可以根据其焦点的位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出的值若双曲线的焦点的位置难以确定，可设出双曲线方程的般式，利用条件，通过待定系数法求出系数的值，从而可写出双曲线的标准方程双曲线定义的应用已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，求的最小值分析解决本题可结合双曲线的定义及图形寻求“最值”的解决解析设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义知，当最小时需满足最小，由双曲线的图像可知当点共线时最小，易求得的最小值为总结反思注意到本例中点在外面，点在双曲线的右支上，且双曲线的右焦点为于是当且仅当三点共线时等号成立在双曲线上任取点，与双曲线的两焦点构成，求的内切圆与边切点的坐标分析充分利用双曲线的定义及切线段相等的性质逐步展开，求出即可解析当点在双曲线的左支上时，如图所示，的内切圆与切于点由已知，得根据圆的切线长定理及双曲线的定义，可得，即，切点的坐标为根据对称性，当点在双曲线的右支上时，能否在田中确定条界线，使位于界线侧的点沿道路送肥较近而另侧的点则沿送肥较近如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程解析田地中的点可分为三类第类沿送肥近，第二类沿送肥较近，第三类沿或送肥样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹设是界线上的任点，则，即定值故所求界线是以为焦点的双曲线支若以直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为，其中因此，双曲线方程为即为所求界线的方程双曲线的焦点三角形问题的顶点在双曲线上，是双曲线的焦点，且求的面积解析设双曲线的左焦点为，右焦点为，如图所示，由双曲线的定义知在中，由余弦定理，得在中，由面积公式，得若双曲线和椭圆有相同的焦点，为两曲线的交点，则等于答案解析由双曲线及椭圆定义分别可得得易混易错辨析设是双曲线的焦点，点在双曲线上若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距离误解双曲线的实轴长为，由，即，所以误解二双曲线的实轴长为，由双曲线的定义得，所以，所以或正解双曲线的实轴长为，由双曲线的定义得，所以，所以或因为，当时，不符合公理“两点之间线段最短”应舍去，所以总结反思错解是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的个隐含条件双曲线的个顶点到另分支上的点的最小距离是，到个焦点的距离是，到另个焦点的距离是，本题是或，小于，不合题意双曲线的个焦点为那么等于误解将双曲线方程化成标准方程为因为焦点在轴上，所以所以，即，所以，应选正解因为个焦点是所以焦点在轴上，所以将双曲线方程化为标准方程，则而，所以，所以，故选总结反思上述解法有两处错误是，确定错误，应该是二是满足的关系式用错了，在双曲线中应为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修圆锥曲线与方程第三章双曲线第课时双曲线及其标准方程第三章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习在平面内到两个定点距离之差的绝对值等于定值大于且小于的点的轨迹叫作这两个定点叫作双曲线的，两焦点之间的距离叫作双曲线的在双曲线的定义中，条件则动点的轨迹双曲线焦点焦距两条射线不存在双曲线定义中应注意关键词，若去掉定义中三个字，动点轨迹只能是焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点在轴上的双曲线的标准方程为在双曲线的标准方程中的关系为绝对值绝对值双曲线支知识要点解读对双曲线定义的两点说明距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的支若表示双曲线的左右焦点，且点满足，则点在右支上若点满足，则点在左支上在双曲线定义中，规定，若把用表示，则当时，的轨迹为双曲线当时，的轨迹为以，为端点的两条射线当时，动点的轨迹不存在对双曲线标准方程的四点说明只有当双曲线的两焦点在坐标轴上，并且线段的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程标准方程的中两个参数和，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里，与椭圆中相区别，且椭圆中，而双曲线中大小则不确定焦点的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若项的系数为正，则焦点在轴上，若项的系数为正，则焦点在轴上双曲线的标准方程可化为个统的形式，即预习效果检测已知动点满足，则点的轨迹是双曲线双曲线的支直线条射线答案解析，是两定点所以满足条件的点的轨迹应为条射线山师大附中高二期中双曲线的焦点为，且经过点则其标准方程为答案解析由条件知，焦点在轴上，排除又双曲线经过点排除是方程表示双曲线的充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件答案解析时，方程为表示焦点在轴上的双曲线，方程表示双曲线时故选设点是双曲线上任意点，分别是左右焦点，若，则答案或解析由双曲线方程，得当点在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得，所以当点在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得，所以故或已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的值为答案解析椭圆方程为焦点双曲线与椭圆有相同焦点课堂典例讲练双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程与椭圆共焦点，且过点，的双曲线与双曲线有公共焦点，且过点，解析由知,设双曲线的方程为，则有，所求的双曲线的方程为依题意，设所求的双曲线方程为将，代入得所求的双曲线方程为总结反思利用待定系数法求双曲线的方程，先判定焦点所在的坐标轴，再确定的值与已知双曲线共焦点的双曲线方程可设为已知双曲线通过,两点，求双曲线的标准方程分析因为所求双曲线的焦点的位置不确定，故必须对双曲线的焦点的位置进行讨论本题也可把双曲线方程设为，用待定系数法求解解析解法若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为因为点,在双曲线上析椭圆方程为焦点双曲线与椭圆有相同焦点课堂典例讲练双曲线的标准方程求下列双曲线的标准方程与椭圆共焦点，且过点，的双曲线与双曲线有公共焦点，且过点，解析由知,设双曲线的方程为，则有，所求的双曲线的方程为依题意，设所求的双曲线方程为将，代入得所求的双曲线方程为总结反思利用待定系数法求双曲线的方程，先判定焦点所在的坐标轴，再确定的值与已知双曲线共焦点的双曲线方程可设为已知双曲线通过,两点，求双曲线的标准方程分析因为所求双曲线的焦点的位置不确定，故必须对双曲线的焦点的位置进行讨论本题也可把双曲线方程设为，用待定系数法求解解析解法若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为因为点,在双曲线上，所以，，解得，所以双曲线的标准方程为若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为同理，有，，解得，舍去综上，所求双曲线的标准方程为解法二设所求双曲线的方程为将点,代入上述方程，得，解得，故所求双曲线的标准方程为总结反思求双曲线的标准方程时，可以根据其焦点的位置设出标准方程的形式