，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线对应的向量就是与的和，记作与的差定义为，记作，其中是的相反向量空间向量加减法的运算律结合律交换律空间向量的数乘的定义空间向量与个实数的乘积是个向量，记作满足当时，与当时，与当时，方向相同方向相反空间向量的数乘运算律，，，共线向量定理空间两个向量与共线的充分必要条件是存在实数，使得单位向量的求法对于任意个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作，与同方向知识要点解读关于空间向量的加减运算法则的几点说明空已知四边形是空间四边形分别是边，的中点分别是边，上的点，且，求证四边形是梯形分析证明为梯形，要抓住两点，是本题考查了共线向量定理以及空间向量的加法减法数乘运算判定两向量共线就是找出使，要充分运用空间向量的运算法则，并结合图形，化简得出，从而得出本题的最终目的是化简出又，所以所以与共线总结反思解析因为是的中点，所以因为分别是的中点，所以与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示向量，故选总结反思利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意与实数的有关运算律区别清楚运算律中是实数分析空间向量的数乘运算是线性运算的种，其实质是空间向量的加减运算解析给四个式子的运算结果都是空间向量的数乘运算如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是所以，所共有个个个个答案解析根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐进行判断边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化如图所示，在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的向量如图所示总结反思化简向量表达式主要是利用平行四等价转化为转化为平行四边形法则得出结论应用平行四边形法则先求应用三角形法则求得出结论解析共面课堂典例讲练如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量向量的加减运算分析分析题意将答案解析由平面向量基本定理可知，共面，所以的四点解析与两向量平行，且有个公共点，所以三点共线不共线，对空间任意点，若，则四点不共面共面不定共面无法判断是否共面，为两向量的公共点，所以三点共线下列条件，能说明空间不重合的三点共线的是答案，为两向量的公共点，所以三点共线下列条件，能说明空间不重合的三点共线的是答案解析与两向量平行，且有个公共点，所以三点共线不共线，对空间任意点，若，则四点不共面共面不定共面无法判断是否共面答案解析由平面向量基本定理可知，共面，所以的四点共面课堂典例讲练如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量向量的加减运算分析分析题意将等价转化为转化为平行四边形法则得出结论应用平行四边形法则先求应用三角形法则求得出结论解析向量如图所示总结反思化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化如图所示，在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的共有个个个个答案解析根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐进行判断所以，所给四个式子的运算结果都是空间向量的数乘运算如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是分析空间向量的数乘运算是线性运算的种，其实质是空间向量的加减运算解析，故选总结反思利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意与实数的有关运算律区别清楚运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示向量解析因为是的中点，所以因为分别是的中点，所以又，所以所以与共线总结反思本题考查了共线向量定理以及空间向量的加法减法数乘运算判定两向量共线就是找出使，要充分运用空间向量的运算法则，并结合图形，化简得出，从而得出本题的最终目的是化简出已知四边形是空间四边形分别是边，的中点分别是边，上的点，且，求证四边形是梯形分析证明为梯形，要抓住两点，是由向量共线的充要条件得到，二是证明分别是,的中点，，且，又不在上，四边形是梯形向量的分解问题如图，是平行六面体化简，并在图中标出其结果设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求的值分析化简该式，应用向量的加法和数乘法，为此应先在图形中，取得向量，通过向量运算法则将用表示解析如图所示，取的中点为，则又取为的个三等分点则总结反思用组选定的不共面的三个向量表示空间向量，仍要利用向量的数乘及加减法运算法则在如图所示的平行六面体中，求证分析由于，所以我们只要证明,而利用平行六面体的各面均为平行四边形就不难证明上式证明平行六面体的六个面均为平行四边形，又由于，易混易错辨析下列命题是真命题的序号是向量与是共线向量，则四点必在条直线上向量与是共线向量，则必在条直线上误解正解命题为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不定在条直线上命题为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点，所以三点共线故填答案总结反思我们所研究的向量为自由向量，所以平行向量就是共线向量，但是向量所在的直线却不定共线，也有可能平行，关键是看这两个向量有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行如果有公共点，那么对应的两条直线重合成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修空间向量与立体几何第二章空间向量的运算第课时空间向量的线性运算第二章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习空间向量加减法的定义如图，设和是空间两个向量，过点作和的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线对应的向量就是与的和，记作与的差定义为，记作，其中是的相反向量空间向量加减法的运算律结合律交换律空间向量的数乘的定义空间向量与个实数的乘积是个向量，记作满足当时，与当时，与当时，方向相同方向相反空间向量的数乘运算律，，，共线向量定理空间两个向量与共线的充分必要条件是存在实数，使得单位向量的求法对于任意个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作，与同方向知识要点解读关于空间向量的加减运算法则的几点说明空间中任意两个向量都可以平移到同个平面内，成为同个平面内的两个向量，因此它们的加减法运算类似于平面向量的加减法求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此，求空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量，如图对空间向量加法运算律的认识由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满中加法交换律对于空间向量的加法满足结合律，可以利用平行六面体从同顶点出发的三条棱所在的三个向量解释，无论如何推证，这三个向量的和定为以此顶点为起点的体对角线所在的向量对空间向量数乘运算的认识类比平面向量，空间中任意实数与向量的乘积仍然是个向量，所以它既有大小又有方向，大小为的倍，方向取决于的正负注意，实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如，无意义预习效果检测下列命题中是真命题的是分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量若，则，的长度相等而方向相同或相反若向量，满足，且与同向，则若两个非零向量与满足则答案解析，与为相反向量，相反向量是共线向量已知空间四边形，连接，则为答案解析，故选已知向量，且，则定共线的三点是答案解析，为两向量的公共点，所以三点共线下列条件，能说明空间不重合的三点共线的是答案解析与两向量平行，且有个公共点，所以三点共线不共线，对空间任意点，若，则四点不共面共面不定共面无法判断是否共面答案解析由平面向量基本定理可知，共面，所以的四点共面课堂典例讲练如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量向量的加减运算分析分析题意将等价转化为转化为平行四边形法则得出结论应用平行四边形法则先求应用三角形法则求得出结论解析，为两向量的公共点，所以三点共线下列条件，能说明空间不重合的三点共线的是答案解析与两向量平行，且有个公共点，所以三点共线不共线，对空间任意点，若，则四点不共面共面不定共面无法判断是否共面答案解析由平面向量基本定理可知，共面，所以的四点共面课堂典例讲练如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量向量的加减运算分析分析题意将等价转化为转化为平行四边形法则得出结论应用平行四边形法则先求应用三角形法则求得出结论解析向量如图所示总结反思化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化如图所示，在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的共有个个个个答案解析根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐进行判断所以，所给四个式子的运算结果都是空间向量的数乘运算如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是分析空间向量的数乘运算是线性运算的种，其实质是空间向量的加减运算解析，故选总结反思利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意与实数的有关运算律区别清楚运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示向量解析因为是的中点，所以因为分别是的中点，所以又，所以解析与两向量平行，且有个公共点，所以三点共线不共线，对空间任意点，若，则四点不共面共面不定共面无法判断是否共面共面课堂典例讲练如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量向量的加减运算分析分析题意将向量如图所示总结反思化简向量表达式主要是利用平行四共有个个个个答案解析根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐进行判断给四个式子的运算结果都是空间向量的数乘运算如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是，故选总结反思利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意与实数的有关运算律区别清楚运算律中是实数解析因为是的中点，所以因为分别是的中点，所以本题考查了共线向量定理以及空间向量的加法减法数乘运算判定两向量共线就是找出使，要充分运用空间向量的运算法则，并结合图形，化简得出，从而得出本题的最终目的