空间向量坐标的确定在空间直角坐标系中，已知点则，即个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标数量积的坐标表示设空间两个非零向量为则空间两向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和空间向量长度与夹角的坐标表示设根据空间向量运算的坐标表示，我们可以得到以下结论，，⊥⇔知识要点解读设的中点求求，分析建立合适的坐标系，求得点的坐标，从而求出向量坐标，最后运用坐标运算公式求解解析如图，建立空间直角坐标系设,若线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，则两直线夹角是与此钝角互补的锐角如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱⊥底面，分别为，解将已知，设，分析题中要利用这条件，首先需要求出哪些量解析,后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用空间向量的垂直与平行的判断已知空间四点若，则总结反思空间向量的加减数乘数量积运算是今减数乘运算与平面向量的加减数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和解析因为所以择求解方法，如计算，可以先求与，再点乘，也可以用公式写出然后计算已知求分析空间向量的加总结反思进行运算时可以适当地选分析利用空间向量的运算法则坐标形式求解向量运算的坐标表示解析，与的夹角为课堂典例讲练已知,求已知为原点，则与的夹角是答案解析，若⊥，则答案解析由题意可得⊥答案解析，已知三点的坐标分别为,故选向量，则向量的模是答案解析已知点的坐标是，点的坐标是，为坐标原点，则向量与的夹角是检测设若，则点应为答案解析，若，，则解两直线垂直或平行的问题，或利用向量证明立体几何的问题，应先将几何中的相关量用向量的形式表示，或建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量运算求解预习效果检若，，则解两直线垂直或平行的问题，或利用向量证明立体几何的问题，应先将几何中的相关量用向量的形式表示，或建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量运算求解预习效果检测设若，则点应为答案解析，故选向量，则向量的模是答案解析已知点的坐标是，点的坐标是，为坐标原点，则向量与的夹角是答案解析，已知三点的坐标分别为，若⊥，则答案解析由题意可得⊥已知为原点，则与的夹角是答案解析，与的夹角为课堂典例讲练已知,求分析利用空间向量的运算法则坐标形式求解向量运算的坐标表示解析总结反思进行运算时可以适当地选择求解方法，如计算，可以先求与，再点乘，也可以用公式写出然后计算已知求分析空间向量的加减数乘运算与平面向量的加减数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和解析因为所以总结反思空间向量的加减数乘数量积运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用空间向量的垂直与平行的判断已知空间四点若，则分析题中要利用这条件，首先需要求出哪些量解析,，解将已知，设，若线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，则两直线夹角是与此钝角互补的锐角如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱⊥底面，分别为的中点求求，分析建立合适的坐标系，求得点的坐标，从而求出向量坐标，最后运用坐标运算公式求解解析如图，建立空间直角坐标系设则,总结反思此类问题考查了空间向量的运算，考查了转化与化归的思想值得注意的是要建立合适的坐标系，使运算简便要在运算时别出错综合应用已知，并且实数满足关于的方程有实根当取最小值时，求的值在的情况下，求向量与的夹角解析关于的方程有实根即，解得，又，当,时，关于的函数单调递增，当时，取最小值，的最小值为由知，当时又，又，向量与的夹角为总结反思解题时要根据题设中关于的方程有实根，得到的取值范围为，而不是如图，在矩形中，⊥平面，且，问在边上是否存在点，使得⊥说明理由分析可建立空间直角坐标系，转化为空间向量来求解解析如图，建立空间直角坐标系，则有,设，则,若⊥，即，判别式为当时，即当时，即，当时，边上有两点可使得⊥时，有点可使⊥当时，不存在，使得⊥易混易错辨析已知向量并且，同向，求，的值误解由题意知，所以，即，代入得，即，解得或，当时当时，正解由题意知，所以，即，代入得，即，解得或，当时当时，当时向量，反向，不符合题意，所以舍去当时确实同向，所以总结反思两向量平行或两向量同向不是等价的，同向是平行的种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件错解就忽视了这点成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修空间向量与立体几何第二章向量的坐标表示和空间向量基本定理第课时空间向量运算的坐标表示第二章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习空间向量坐标运算的法则若则空间向量平行的坐标表示为⇔空间向量坐标的确定在空间直角坐标系中，已知点则，即个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标数量积的坐标表示设空间两个非零向量为则空间两向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和空间向量长度与夹角的坐标表示设根据空间向量运算的坐标表示，我们可以得到以下结论，，⊥⇔知识要点解读设为单位正交基底，即，在此基底下，即根据向量线性运算与数量积运算的定义及运算律，可得出⊥，，及，的坐标表示将的起点移到同点，以的方向分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系，则对空间任点，相对于原点确定了个向量，设，则也就是点的坐标，即以原点为起点的向量的坐标等于向量终点的坐标设则个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标注意向量的坐标与点的坐标表示方法不同空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便建立直角坐标系，将问题中涉及的点线向量面向量的线性组合用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表示出来，然后，利用垂直平行共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用向量的模向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算的结果转化为几何结论当图形中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件结论中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及数量积运算的规则进行推理计算最后转化为相应几何结论若，则⊥若，，则解两直线垂直或平行的问题，或利用向量证明立体几何的问题，应先将几何中的相关量用向量的形式表示，或建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量运算求解预习效果检测设若，则点应为答案解析，故选向量，则向量的模是答案解析已知点的坐标是，点的坐标是，为坐标原点，则向量与的夹角是答案解析，已知三点的坐标分别为，若⊥，则答案解析由题意可得⊥，若，，则解两直线垂直或平行的问题，或利用向量证明立体几何的问题，应先将几何中的相关量用向量的形式表示，或建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量运算求解预习效果检测设若，则点应为答案解析，故选向量，则向量的模是答案解析已知点的坐标是，点的坐标是，为坐标原点，则向量与的夹角是答案解析，已知三点的坐标分别为，若⊥，则答案解析由题意可得⊥已知为原点，则与的夹角是答案解析，与的夹角为课堂典例讲练已知,求分析利用空间向量的运算法则坐标形式求解向量运算的坐标表示解析总结反思进行运算时可以适当地选择求解方法，如计算，可以先求与，再点乘，也可以用公式写出然后计算已知求分析空间向量的加减数乘运算与平面向量的加减数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和解析因为所以总结反思空间向量的加减数乘数量积运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用空间向量的垂直与平行的判断已知空间四点若，则分析题中要利用这条件，首先需要求出哪些量解析,，解将已知，设，若检测设若，则点应为答案解析答案解析，已知三点的坐标分别为已知为原点，则与的夹角是答案解析分析利用空间向量的运算法则坐标形式求解向量运算的坐标表示解析择求解方法，如计算，可以先求与，再点乘，也可以用公式写出然后计算已知求分析空间向量的加总结反思空间向量的加减数乘数量积运算是今分析题中要利用这条件，首先需要求出哪些量解析,若线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，则两直线夹角是与此钝角互补的锐角如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱⊥底面，分别为空间向量坐标的确定在空间直角坐标系中，已知点则，即个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标数量积的坐标表示设空间两个非零向量为则空间两向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和空间向量长度与夹角的坐标表示设根据空间向量运算的坐标表示，我们可以得到以下结论，，⊥⇔