的横坐标为，则，所以依题意，对任意的，在平面上的射影垂直于⇔⊥⇔⇔⇔，即为的中点时，满足题意要求如图，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面求二面角的余弦值求点到平面的距离解析证明如图，取的中点，连接因为为正三角形，所以⊥因为在正三棱柱中，平面⊥平面，所以⊥平面取中点，以为原点，的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，则所以因为，所以⊥，⊥，即⊥，⊥，又与交于点，所以⊥平面连接，设平面的法向量为，个法向量，则，取，则又为平面的个法向量⊥解由得设为平面的弦值求点到平面的距离解析证明取的中点，连，由题意易知两两垂直如图，建立空间直角坐标系，则，所示线面距面面距均可转化为点到平面的距离如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面⊥平面为的中点证明⊥求二面角的余坐标系，标出点坐标求出两平面的法向量求法向量所成的角，再转化为平面夹角空间距离点面距的求法设是平面的法向量，是平面的条斜线，则点到面的距离，如图为平面的个法向量则结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角的大小是总结反思用向量法求两平面夹角的般步骤是建立设是平面的法向量，则由得，取，则显然,因为是的中点，所以，易知,是平面的个法向量因为，⊥，平面，所以平面设点是的中点，证明平面求二面角的大小解析如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则的法向量是平面与平面夹角的余弦值为如图是个直三棱柱以为底面被平面所截得的几何体，截面为已知，，面的夹角为，则,则，与平面夹角的正弦值为平面的法向量是，平面⊥，⊥，⊥平面，是平面的个法向量又设与平空间直角坐标系，求出相应的向量，利用法向量求解解析建立空间直角坐标系，如图，⊥为上点且，点在线段上，⊥求求直线与平面夹角的正弦值求平面与平面夹角的余弦值分析建立恰当求斜线与平面所成的角如图，设平面的法向量为，斜线的方向向量为，斜线与平面所成的角为，则，如图所示，在长方体中，或，求二面角的大小如图，设平面的法向量分别为因为两平面的法向量所成的角或其补角就等于平面所成的锐二面角，所以，令，则，⊥平面⊥平面求空间中的角求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为，那么这两条异面直线所成的角为，或，令，则，⊥平面⊥平面求空间中的角求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为，那么这两条异面直线所成的角为，或，求二面角的大小如图，设平面的法向量分别为因为两平面的法向量所成的角或其补角就等于平面所成的锐二面角，所以求斜线与平面所成的角如图，设平面的法向量为，斜线的方向向量为，斜线与平面所成的角为，则，如图所示，在长方体中为上点且，点在线段上，⊥求求直线与平面夹角的正弦值求平面与平面夹角的余弦值分析建立恰当空间直角坐标系，求出相应的向量，利用法向量求解解析建立空间直角坐标系，如图，⊥，⊥，⊥，⊥平面，是平面的个法向量又设与平面的夹角为，则,则，与平面夹角的正弦值为平面的法向量是，平面的法向量是平面与平面夹角的余弦值为如图是个直三棱柱以为底面被平面所截得的几何体，截面为已知，，设点是的中点，证明平面求二面角的大小解析如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则因为是的中点，所以，易知,是平面的个法向量因为，⊥，平面，所以平面设是平面的法向量，则由得，取，则显然,为平面的个法向量则结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角的大小是总结反思用向量法求两平面夹角的般步骤是建立坐标系，标出点坐标求出两平面的法向量求法向量所成的角，再转化为平面夹角空间距离点面距的求法设是平面的法向量，是平面的条斜线，则点到面的距离，如图所示线面距面面距均可转化为点到平面的距离如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面⊥平面为的中点证明⊥求二面角的余弦值求点到平面的距离解析证明取的中点，连，由题意易知两两垂直如图，建立空间直角坐标系，则，⊥解由得设为平面的个法向量，则，取，则又为平面的个法向量二面角的余弦值为解由得，又为平面的个法向量点到平面的距离为如图所示，已知四边形和都是边长为的正方形，点分别是和的中点，求与所成的角点到平面的距离异面直线与的距离分析此题共有问，包括两个向量的夹角的求解，两异面直线间的距离的求解和点到平面的距离的求解，可建立空间直角坐标系，进行求解解析如图，建立空间直角坐标系，则，则由中点坐标公式得，所以，且所以，所以与所成的角为设是平面的单位法向量，即，⊥平面，所以⊥，且⊥又所以，得其中的个解是所以又设所求距离为，则设是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由得求得其中的个解而，设所求距离为，则探索性问题对于探索性问题，般先假设，令则，当时取等号所以，当时，取得最大值三解答题如图，在棱长为的正方体中，是侧棱上的点，试确定，使得直线与平面所成角的正切值为在线段上是否存在定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于并证明你的结论解析解法连接，设∩，与平面交于点，连接如图所示，平面，平面∩平面，又为的中点，又⊥，⊥，⊥平面故即为与平面所成的角在中，，即故当时，直线与平面所成角的正切值为存在点证明依题意，要在上找点，使得⊥，可推测的中点即为所求的点⊥，⊥，⊥平面又平面，故⊥从而在平面上的射影与垂直存在定点满足题意解法二建立如图所示的空间直角坐标系，则则,又由，知为平面的个法向量设与平面所成的角为，则依题意，有，解得故当时，直线与平面所成角的正切值为若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则，所以依题意，对任意的，在平面上的射影垂直于⇔⊥⇔⇔⇔，即为的中点时，满足题意要求如图，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面求二面角的余弦值求点到平面的距离解析证明如图，取的中点，连接因为为正三角形，所以⊥因为在正三棱柱中，平面⊥平面，所以⊥平面取中点，以为原点，的方向为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，则所以因为，所以⊥，⊥，即⊥，⊥，又与交于点，所以⊥平面连接，设平面的法向量为,因为⊥，⊥，所以，即解之可得，令，得为平面的个法向量由知⊥平面，所以为平面的法向量故二面角的余弦值为由知为平面的法向量，因为所以点到平面的距离如图，四棱锥中，底面为菱形，⊥底面，是上的点，证明⊥平面设二面角为，求与平面所成角的大小解析以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系设其中，则于是，从而，故⊥，⊥又∩，所以⊥平面,设平面的法向量，则，即且，令，则设为平面的法向量，则，即且，令，则因为平面⊥平面，故，即，故，于是因为与平面所成角和，互余，故与平面所成的角为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修空间向量与立体几何第二章章末归纳总结第二章专题研究即时训练知识结构知识结构专题研究向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线直线平行四点共面向量共面线面平行等等都需要运用这两个基本原理如图，长方体中，为的中点，在上，且∶∶，求证与共面解析与，共面如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点分别在对角线上，且，求证向量共面证明因为在上，且，所以同理所以又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面利用空间向量判定线面面面位置关系线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则⊥⇔线面平行用向量证明线面平行的方法主要有证明直线的方向向量与平面的法向量垂直证明可在平面内找到个向量与直线的方向向量是共线向量利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有证明直线的方向向量与平面的法向量平行利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题面面平行证明两个平面的法向量平行即是共线向量转化为线面平行线线平行问题面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直转化为线面垂直线线垂直问题如图所示，在正方体中，分别是的中点求证平面平面平面证明方法如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则可求得，于是设平面的个法向量是，则且，得取，得，所以又，所以⊥又平面，所以平面方法二因为，所以，又因为平面，所以平面方法三因为即可用与表示，故与，是共面向量，所以平面，即平面由求得平面的个法向量为，同理可求得平面的个法向量，所以，所以平面平面方法四分别为的中点，，又，，又平面，平面，平面，平面，平面平面，同理平面，平面平面总结反思方法是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，方法二和方法三没有建立坐标系，直接通过向量的分解等运算进行证明，当然在方法二和方法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明，另外，在方法三中还可证明可由，表示面面平行的常见证法有两种由线面平行⇒面面平行由法向量共线⇒面面平行如图所示，已知⊥平面，为矩形，分别为，的中点求证平面平面⊥平面分析建立合适的空间直角坐标系，可以借助共面向量定理证明，借助于法向量证明解析如图所示，以为坐标原点，所在的直角分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系设，可知，分别为，中点，又平面，平面由可知，所以设平面的个法向量为，则⇒解得，令，则设平面的个法向量为，则⇒解得，令，则，⊥平面⊥平面求空间中的角求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为，那么这两条异面直线所成的角为，或，求二面角的大小如图，设平面的法向量分别为因为两平面的法向量所成的角或其补角就等于平面所成的锐二面角，所以求斜线与平面所成的角如图，设平面的法向量为，斜线的方向向量为，斜线与平面所成的角为，则，如图所示，在长方体中为上点且，点在线段上，⊥求求直线与平面夹角的正弦值求平面与平面夹角的余弦值分析建立恰当空间直角坐标系，求出相应的向量，利用法向量求解解析建立空间直角坐标系，如图，⊥，⊥，⊥，⊥平面，是平面的个法向量又设与平面的夹角为，则,则，与平面夹角的正弦值为平面的法向量是，平面的法向量是平面与平面夹角的余弦值为如图是个直三棱柱以为底面被平面所截得的几何体，截面为已知，，设点是的中点，证明平面求二面角的大小解