断函数的奇偶性错解档案，为偶函数误区警示错解中没有判断函数的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性规范解答函数的定义域为，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数名师点评判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论典例已知函数是奇函数，且当时求函数的解析式错解档案当，是奇函数所求函数解析式为名师点评定义域是函数的灵魂，尤其是解决奇偶函数的问题首先要考虑定义域，若函数为奇函数，且函数在原点处有定义，则有，此点是条件中的隐含结论，不可忽略人教版必修第章集合与函数概念函，则为偶函数若，且，则为非奇非偶函数图象法是奇偶函数的充要条件是的图象关于原点轴对称数的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下步验证或下结论若，则为奇函数若递减，又由得，所以，即为，故答案选规律小结判断函数奇偶性的方法定义法根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下判断函奇函数满足，偶函数满足提示遵循“求谁设，则的取值范围是解析因为函数是定义在上的奇函数且单调点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可思考利用奇偶性求函数解析式的依据是什么思考利用奇偶性求函数解析式，如何设自变量提示依据是奇偶性的定义式，的图象由图象知所以知识点三利用函数奇偶性求解析式核心解读利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇偶函数的定义域关于原，并比较与的大小解因为函数为偶函数，其图象关于轴对称，故保留在，上的图象，在，上作关于轴对称的图象，如下图所示，即得函数函数在轴另侧的图象作对称图象时，可以先从点的对称出发，点，关于原点的对称点为关于轴的对称点为，跟踪训练如图给出了偶函数的局部图象，求与的大小解由例题图象知故奇偶函数图象的对称性给出奇函数或偶函数在轴侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，可以作出，上的图象关于原点对称由在,上的图象，可知它在,上的图象，如下图所示由图象知，使函数值的的取值集合为,,互动探究本例条件不变，问题改为比较图象吗对应的是哪部分图象提示利用奇函数的图象关于原点对称可画出,上的图象对应的是轴下方部分的图象,,解析因为函数是奇函数，所以在例示法例已知奇函数的定义域为且在区间,上的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为你能根据,上的图象及函数的奇偶性画出,上的奇函数，则的图象关于原点对称，反之成立吗提示对于个函数来说，它的奇偶性有四种可能是奇函数但不是偶函数是偶函数但不是奇函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数也不是偶函数提示成立典数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象等问题思考根据函数奇偶性的定义可以知道函数的奇偶性有几种情况思考若是偶函数，则的图象关于轴对称，反之成立吗若是综上可知，对于，，，都有故为奇函数知识点二奇偶函数的图象及应用核心解读奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于轴对称根据奇偶函判定函数的奇偶性跟踪训练判断函数，的奇偶性解函数的定义域为，，，关于原点对称，且当时函数是非奇非偶函数在定义域关于原点对称的前提下，进步判定是否等于分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判函数是非奇非偶函数在定义域关于原点对称的前提下，进步判定是否等于分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性跟踪训练判断函数，的奇偶性解函数的定义域为，，，关于原点对称，且当时综上可知，对于，，，都有故为奇函数知识点二奇偶函数的图象及应用核心解读奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于轴对称根据奇偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象等问题思考根据函数奇偶性的定义可以知道函数的奇偶性有几种情况思考若是偶函数，则的图象关于轴对称，反之成立吗若是奇函数，则的图象关于原点对称，反之成立吗提示对于个函数来说，它的奇偶性有四种可能是奇函数但不是偶函数是偶函数但不是奇函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数也不是偶函数提示成立典例示法例已知奇函数的定义域为且在区间,上的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为你能根据,上的图象及函数的奇偶性画出,上的图象吗对应的是哪部分图象提示利用奇函数的图象关于原点对称可画出,上的图象对应的是轴下方部分的图象,,解析因为函数是奇函数，所以在，上的图象关于原点对称由在,上的图象，可知它在,上的图象，如下图所示由图象知，使函数值的的取值集合为,,互动探究本例条件不变，问题改为比较与的大小解由例题图象知故奇偶函数图象的对称性给出奇函数或偶函数在轴侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，可以作出函数在轴另侧的图象作对称图象时，可以先从点的对称出发，点，关于原点的对称点为关于轴的对称点为，跟踪训练如图给出了偶函数的局部图象，求，并比较与的大小解因为函数为偶函数，其图象关于轴对称，故保留在，上的图象，在，上作关于轴对称的图象，如下图所示，即得函数，的图象由图象知所以知识点三利用函数奇偶性求解析式核心解读利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可思考利用奇偶性求函数解析式的依据是什么思考利用奇偶性求函数解析式，如何设自变量提示依据是奇偶性的定义式奇函数满足，偶函数满足提示遵循“求谁设，则的取值范围是解析因为函数是定义在上的奇函数且单调递减，又由得，所以，即为，故答案选规律小结判断函数奇偶性的方法定义法根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下判断函数的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下步验证或下结论若，则为奇函数若，则为偶函数若，且，则为非奇非偶函数图象法是奇偶函数的充要条件是的图象关于原点轴对称性质法偶函数的和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数的和差仍为奇函数奇偶数个奇函数的积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数的积为奇函数奇偶函数的主要性质根据奇函数的定义，如果个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么定有有时可以用这个结论来否定个函数为奇函数偶函数的个重要性质，它能使自变量化归到，上，避免分类讨论函数的单调性与奇偶性的关系若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性致若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数偶函数在对称区间上的最值相等分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清与的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出的定义域内总有或，从而判定其奇偶性，而不能以其中个区间来代替整个定义域另外，也可以用图象法来判断走出误区易错点⊳判断函数奇偶性或利用函数奇偶性时，易忽略定义域典例判断函数的奇偶性错解档案，为偶函数误区警示错解中没有判断函数的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性规范解答函数的定义域为，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数名师点评判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论典例已知函数是奇函数，且当时求函数的解析式错解档案当，是奇函数所求函数解析式为名师点评定义域是函数的灵魂，尤其是解决奇偶函数的问题首先要考虑定义域，若函数为奇函数，且函数在原点处有定义，则有，此点是条件中的隐含结论，不可忽略人教版必修第章集合与函数概念函数的基本性质奇偶性问题提出函数的奇偶性是什么如何用定义进行判定奇函数偶函数的图象有什么特征其定义域有什么特点课前自主学习基础自学奇偶函数的定义偶函数的定义如果对于函数的定义域内的任意个，都有，那么函数就叫做偶函数奇函数的定义如果对于函数的定义域内的任意个，都有，那么函数就叫做奇函数奇偶函数图象特点奇函数的图象关于对称偶函数的图象关于对称原点轴自我小测判判正确的打，错误的打“”奇偶函数的定义域都关于原点对称函数的图象关于原点对称对于定义在上的函数，若，则函数定是奇函数做做请把正确的答案写在横线上是定义在上的奇函数，则函数在定义域上是函数填“奇”或“偶”已知函数是定义域为的偶函数则奇课堂合作探究知识点函数奇偶性的判断核心解读判断函数奇偶性的两种方法定义法，步骤为首先看定义域是否关于原点对称若不对称则函数为非奇非偶函数若对称，则再看与的关系若，则函数为奇函数若，则函数为偶函数若与无上述关系，则函数为非奇非偶函数图象法，利用奇偶函数的图象的对称性来判断思考，,是偶函数吗思考，具有奇偶性吗提示不是，因为它的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数提示具有奇偶性，它既是奇函数也是偶函数典例示法例判断下列函数的奇偶性题目中函数的定义域关于原点对称吗它们分别满足，还是提示中定义域关于原点对称，满足中定义域,关于原点对称，满足中定义域，不关于原点对称中定义域为，关于原点对称，满足解函数的定义域为，关于原点对称，又，为偶函数函数的定义域为关于原点对称，且，又既是奇函数又是偶函数函数的定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数的定义域是，，，关于原点对称当时综上可知，对于，，，都有，为偶函数函数具有奇偶性的条件首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数在定义域关于原点对称的前提下，进步判定是否等于分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性跟踪训练判断函数，的奇偶性解函数的定义域为，，，关于原点对称，且当时综上可知，对于，，，都有故为奇函数知识点二奇偶函数的图象及应用核心解读奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于轴对称根据奇偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象等问题思考根据函数奇偶性的定义可以知道函数的奇偶性有几种情况思考若是偶函数，则的图象关于轴对称，反之成立吗若是奇函数，则的图象关于原点对称，反之成立吗提示对于个函数来说，它的奇偶性有四种可能是奇函数但不是偶函数是偶函数但不是奇函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数也不是偶函数提示成立典例示函数是非奇非偶函数在定义域关于原点对称的前提下，进步判定是否等于分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性跟踪训练判断函数，的奇偶性解函数的定义域为，，，关于原点对称，且当时