象的对称轴为直线，所以，即名师点评单调区间是个整体概念，比如说函数的单调递减区间是，指的是函数递减的最大范围为区间而函数在区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，定要仔细读题，明确条件含义人教版必修第章集合与函数概念函数的基本性质单调性与最大小值第课时函数的单调性问题提出如何理解函数单调性的概念用定义证明或判断函数单调性的般步骤是什么课前自主学习基础自学增函数与减函数的定义条件结论定义增函数当增函数减函数函数的单调性与单调区间如果函数在区间上是增函数或减函数，那么说函数在这区间上具有严格的，区间叫做函数的基本初等函数的单调性函数类型单调性在上单调次函数在上是减函数反比例函数在上是增函数单调性单调区间递增递减，和，，和，在上是减函数在上是增函数二次函数在上是减函数在上是增函数侧解析函数的对称轴为，函数图象开口向上，如上图要使函数在区间,上单调，只需或其中当时函数在区间,上单调递增，当时函数在区间,上单调递减，从而，与开口方向及对称轴有关吗当给出单调区间,对称轴需满足什么条件提示有关时，对称轴左边为减区间，右边为增区间时，对称轴左边为增区间，右边为减区间对称轴在,的左侧或右”脱掉，只要注意到函数的定义域变量的大小关系典例示法例函数在区间,上单调，则，，,，，二次函数的单调区间知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小例如，若函数的解析式是未知的，欲求的取值范围，可以根据函数单调性的定义也就是函数单调性的性质，将符号“，如右图所示，单调递增区间为，，递减区间为，知识点三函数单调性的应用核心解读函数单调性的定义具有“双向性”利用函数单调性的定义可以判断证明函数的单调性，反过来，若已练写出下列函数的单调区间解图象如右图由此可知，递增区间为递减区间为，，图象直接写出对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性区间函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域跟踪训为，和，，单调递减区间为，和，常用画图象求单调区间对于初等函数单调区间的确定，常借助于函数递减区间是，和，如图所示互动探究若本例函数变为又如何呢解图象如图根据图象可知，单调递增区间下降对应的相应的取值范围即为单调增减区间解或，根据图象，可知，单调递增区间是，和，单调的图象并写出函数的单调区间画函数的图象时应分哪几段你能利用图象的上升和下降趋势判断函数的单调性写出单调区间吗提示去绝对值分段讨论，图象分三段，观察图象的上升与的图象在上是上升的若函数在区间上是减函数，则的图象在上是下降的提示函数的单调性是针对定义域内的个区间而言的，即单调区间是定义域的子集典例示法例画出函数单调性，如果有个因式符号不确定，则需确定分界点分类讨论以确定单调区间思考增减函数与函数图象的升降之间有什么关系思考函数的单调区间和定义域之间有什么关系提示若函数在区间上是增函数，则法，可分为三步作出函数的图象观察函数图象上升图象对应增区间，下降图象对应减区间定义法，可分为三步作差并变形判断各因式符号如果各因式符号确定，则函数在整个定义域上具有，即故函数在，上为增函数，同理可证，在，上为增函数知识点二求函数的单调区间核心解读求函数单调区间的两种方法图象为单调增函数证明如下设，则，断或运用函数的单调性的步骤为跟踪训练判断的单调性，并证明证明，定义域为，，则在，和，上为断或运用函数的单调性的步骤为跟踪训练判断的单调性，并证明证明，定义域为，，则在，和，上为单调增函数证明如下设，则即故函数在，上为增函数，同理可证，在，上为增函数知识点二求函数的单调区间核心解读求函数单调区间的两种方法图象法，可分为三步作出函数的图象观察函数图象上升图象对应增区间，下降图象对应减区间定义法，可分为三步作差并变形判断各因式符号如果各因式符号确定，则函数在整个定义域上具有单调性，如果有个因式符号不确定，则需确定分界点分类讨论以确定单调区间思考增减函数与函数图象的升降之间有什么关系思考函数的单调区间和定义域之间有什么关系提示若函数在区间上是增函数，则的图象在上是上升的若函数在区间上是减函数，则的图象在上是下降的提示函数的单调性是针对定义域内的个区间而言的，即单调区间是定义域的子集典例示法例画出函数的图象并写出函数的单调区间画函数的图象时应分哪几段你能利用图象的上升和下降趋势判断函数的单调性写出单调区间吗提示去绝对值分段讨论，图象分三段，观察图象的上升与下降对应的相应的取值范围即为单调增减区间解或，根据图象，可知，单调递增区间是，和，单调递减区间是，和，如图所示互动探究若本例函数变为又如何呢解图象如图根据图象可知，单调递增区间为，和，，单调递减区间为，和，常用画图象求单调区间对于初等函数单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性区间函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域跟踪训练写出下列函数的单调区间解图象如右图由此可知，递增区间为递减区间为，，，如右图所示，单调递增区间为，，递减区间为，知识点三函数单调性的应用核心解读函数单调性的定义具有“双向性”利用函数单调性的定义可以判断证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小例如，若函数的解析式是未知的，欲求的取值范围，可以根据函数单调性的定义也就是函数单调性的性质，将符号脱掉，只要注意到函数的定义域变量的大小关系典例示法例函数在区间,上单调，则，，,，，二次函数的单调区间与开口方向及对称轴有关吗当给出单调区间,对称轴需满足什么条件提示有关时，对称轴左边为减区间，右边为增区间时，对称轴左边为增区间，右边为减区间对称轴在,的左侧或右侧解析函数的对称轴为，函数图象开口向上，如上图要使函数在区间,上单调，只需或其中当时函数在区间,上单调递增，当时函数在区间,上单调递减，从而，，，故选利用单调性求二次函数中的参数二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围需注意若函数在区间，上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的跟踪训练函数，是单调函数，则满足已知是定义在,上的减函数，且，则的取值范围为解析作出函数的大致图象如右图所示对称轴为由于该函数在，上是单调函数由图可知，在，上是增函数，只须，解得故选，由题意可知，即由可知即所求的取值范围是，规律小结函数的单调区间必须是定义域的子集因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域确定函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数在，和，上都是减函数，但不能说函数在定义域上是减函数若，则函数是单调增函数若，则函数是增减函数走出误区易错点⊳对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念混淆典例若函数的单调递减区间是则实数的取值范围是错解档案函数的图象的对称轴为直线，由于函数在区间，上单调递减，因此，即误区警示错解中把单调区间误认为是在区间上单调规范解答因为函数的单调递减区间为且函数图象的对称轴为直线，所以有，即典例若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是错解档案函数的图象的对称轴为直线，由于函数的单调递减区间是因此，即误区警示错解中把在区间上单调误认为是单调区间规范解答因为函数在区间，上单调递减，且函数图象的对称轴为直线，所以，即名师点评单调区间是个整体概念，比如说函数的单调递减区间是，指的是函数递减的最大范围为区间而函数在区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，定要仔细读题，明确条件含义人教版必修第章集合与函数概念函数的基本性质单调性与最大小值第课时函数的单调性问题提出如何理解函数单调性的概念用定义证明或判断函数单调性的般步骤是什么课前自主学习基础自学增函数与减函数的定义条件结论定义增函数当增函数减函数函数的单调性与单调区间如果函数在区间上是增函数或减函数，那么说函数在这区间上具有严格的，区间叫做函数的基本初等函数的单调性函数类型单调性在上单调次函数在上是减函数反比例函数在上是增函数单调性单调区间递增递减，和，，和，在上是减函数在上是增函数二次函数在上是减函数在上是增函数，，判判正确的打，错误的打“”所有函数在定义域上都具有单调性增减函数定义中的“任意，”可以改为“存在，”若函数在实数集上是增函数，则有做做请把正确的答案写在横线上函数在,上是函数填“增”或“减”函数的递减区间是若函数在上是减函数，且，则与的大小关系是增课堂合作探究知识点证明或判断函数的单调性核心解读函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集函数的单调性是对个区间而言的，在点上不存在单调性个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数在，和，上单调递减，却不能表述为函数在，，上单调递减并非所有的函数都具有单调性如函数，是有理数是无理数就不具有单调性思考画出函数的图象，并指出的图象的升降情况如何提示根据列表法的三个步骤列表描点连线得两函数的图象如下函数的图象由左到右是上升的函数在轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的思考如何描述函数随着自变量值的变化，函数值的变化情况提示在，上，随着自变量值的增大，函数值逐渐减小在，上，随着自变量值的增大，函数值逐渐增大典例示法例证明在,上是减函数，在，上是增函数，应取自哪个区间如何判断的符号提示证明,上的单调性时，取自证明，上的单调性时则取自，，通过通分，因式分解的方法判断的符号证明设当时，则因此所给函数在,上是减函数，在，上是增函数定义法证明单调性的步骤判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作利用定义法判断或运用函数的单调性的步骤为跟踪训练判断的单调性，并证明证明，定义域为，