共点问题四例三个平面两两相交于三条直线，即∩，∩，∩，已知直线和不平行求证三条直线必过同点分析先证，交于点，再证点在直线上，主要是利用公理，来证明直线共点的问题证明∩，∩，⊂，⊂，不平行必相交，设∩，如图，⊂，，⊂，而∩，相交于点，即三条直线过同点规律技巧证明三线共点的基本方法是先说明两条直线共面且相交于点，然后说明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三点共线随堂训练在空间内，可以确定个平面的条件是两两相交的三条直线三条直线，其中的条与另外两条直线分别相交三个点三条直线，它们两两相交，但不交于同点两条直线答案若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分部分部分部分解析如图所示，三个平面可把空间分成部分答案求证如果条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面已知，∩，∩面内证法∩确定个平面∩确定个平面，⊂，，⊂，同理可证，，，不共线的三个点既定个平面，然后证明其他直线都在这个平面上证明证法∩，和确定个平面∩，又⊂，同理可证又，，⊂直线在同平两条直线的交点多线共面问题二例证明两两相交且不共点的三条直线在同平面内已知如图所示，∩，∩，∩求证直线在同平面内分析证明多线共面，般先选取两条直线确均不在上作法连接，并延长交于，连接则平面与平面，的交线，即为所求规律技巧本题给出了画两个平面交线的般方法，即找出它们的两个公共点，转化为找同平面内和公理，只要找出它们的两个公共点，显然平面和已有两个公共点延长交于，平面，即为平面与平面的第二个交点解如图，∩，，，，，公理的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上课堂互动探究剖析归纳触类旁通平面的概念例用符号语言及文字语言描述如图，并画出平面和平面及的交线典例剖析分析要画出两个平面的交线，根据公理且只有个”，也可以说成“存在”并且“唯”，与确定同义推论经过条直线和直线外点，有且只有个平面推论经过两条相交直线，有且只有个平面推论经过两条平行直线，有且只有个平面图形表示如图是把空间问题化归成平面问题的重要依据并可用来证“两个平面重合”特别要注意公理中“不在条直线上的三个点”这条件“有且只有”的含义可以分开来理解“有”是说明“存在”，“只有个”说明“唯”，所以“有线的般方法，即找出它们的两个公共点，转化为找同平面内的依据证明条直线在平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”公理的作用是确定平面，如图，∩，，，，，均不在上作法连接，并延长交于，连接则平面与平面，的交线，即为所求规律技巧本题给出了画两个平面交及的交线典例剖析分析要画出两个平面的交线，根据公理和公理，只要找出它们的两个公共点，显然平面和已有两个公共点延长交于，平面，即为平面与平面的第二个交点解面推论经过两条平行直线，有且只有个平面图形表示如图公理的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上课堂互动探究剖析归纳触类旁通平面的概念例用符号语言及文字语言描述如图，并画出平面和平面“有”是说明“存在”，“只有个”说明“唯”，所以“有且只有个”，也可以说成“存在”并且“唯”，与确定同义推论经过条直线和直线外点，有且只有个平面推论经过两条相交直线，有且只有个平”是指“直线上的所有点都在平面内”公理的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据并可用来证“两个平面重合”特别要注意公理中“不在条直线上的三个点”这条件“有且只有”的含义可以分开来理解同的图形了，而图则不会产生上述感觉同时也符合人的视觉效果原理近实远虚准确理解公理的含义公理是判定直线在平面内的依据证明条直线在平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内“直线在平面内有线都画实线，则同个图形可以想象出不同的形状如图，可以想象出两种不同的图形形状想象点在平面里面，我们看不见再想象点被慢慢拉到外面来，于是，点又在平面的外面这样，就得出两种不画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成，横边画成邻边的两倍画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的组对边画成铅垂线画空间图形时，为什么规定看不见的地方要画虚线或不画呢如果所有画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成，横边画成邻边的两倍画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的组对边画成铅垂线画空间图形时，为什么规定看不见的地方要画虚线或不画呢如果所有线都画实线，则同个图形可以想象出不同的形状如图，可以想象出两种不同的图形形状想象点在平面里面，我们看不见再想象点被慢慢拉到外面来，于是，点又在平面的外面这样，就得出两种不同的图形了，而图则不会产生上述感觉同时也符合人的视觉效果原理近实远虚准确理解公理的含义公理是判定直线在平面内的依据证明条直线在平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”公理的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据并可用来证“两个平面重合”特别要注意公理中“不在条直线上的三个点”这条件“有且只有”的含义可以分开来理解“有”是说明“存在”，“只有个”说明“唯”，所以“有且只有个”，也可以说成“存在”并且“唯”，与确定同义推论经过条直线和直线外点，有且只有个平面推论经过两条相交直线，有且只有个平面推论经过两条平行直线，有且只有个平面图形表示如图公理的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上课堂互动探究剖析归纳触类旁通平面的概念例用符号语言及文字语言描述如图，并画出平面和平面及的交线典例剖析分析要画出两个平面的交线，根据公理和公理，只要找出它们的两个公共点，显然平面和已有两个公共点延长交于，平面，即为平面与平面的第二个交点解如图，∩，，，，，均不在上作法连接，并延长交于，连接则平面与平面，的交线，即为所求规律技巧本题给出了画两个平面交线的般方法，即找出它们的两个公共点，转化为找同平面内的依据证明条直线在平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”公理的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据并可用来证“两个平面重合”特别要注意公理中“不在条直线上的三个点”这条件“有且只有”的含义可以分开来理解“有”是说明“存在”，“只有个”说明“唯”，所以“有且只有个”，也可以说成“存在”并且“唯”，与确定同义推论经过条直线和直线外点，有且只有个平面推论经过两条相交直线，有且只有个平面推论经过两条平行直线，有且只有个平面图形表示如图公理的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上课堂互动探究剖析归纳触类旁通平面的概念例用符号语言及文字语言描述如图，并画出平面和平面及的交线典例剖析分析要画出两个平面的交线，根据公理和公理，只要找出它们的两个公共点，显然平面和已有两个公共点延长交于，平面，即为平面与平面的第二个交点解如图，∩，，，，，均不在上作法连接，并延长交于，连接则平面与平面，的交线，即为所求规律技巧本题给出了画两个平面交线的般方法，即找出它们的两个公共点，转化为找同平面内两条直线的交点多线共面问题二例证明两两相交且不共点的三条直线在同平面内已知如图所示，∩，∩，∩求证直线在同平面内分析证明多线共面，般先选取两条直线确定个平面，然后证明其他直线都在这个平面上证明证法∩，和确定个平面∩，又⊂，同理可证又，，⊂直线在同平面内证法∩确定个平面∩确定个平面，⊂，，⊂，同理可证，，，不共线的三个点既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线在同平面内规律技巧证法证明多线共面的步骤证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定个平面证明其余直线上均有两点也在平面内，即其余直线也在平面内，也就是证明了这些直线共面证法证明多线共面的步骤证明这些直线确定若干个平面利用公理及其推论证明这些平面重合，从而证明了这些直线共面多点共线问题三例如图，在正方体中，设∩平面求证三点共线分析利用公理可证明三点共线证明如图，连接，∩平面，，平面⊂平面，平面平面∩平面，三点共线规律技巧证明多点共线问题，应用公理，证明这些点同在两个平面内，又这两个平面相交，所以这些点都在交线上多线共点问题四例三个平面两两相交于三条直线，即∩，∩，∩，已知直线和不平行求证三条直线必过同点分析先证，交于点，再证点在直线上，主要是利用公理，来证明直线共点的问题证明∩，∩，⊂，⊂，不平行必相交，设∩，如图，⊂，，⊂，而∩，相交于点，即三条直线过同点规律技巧证明三线共点的基本方法是先说明两条直线共面且相交于点，然后说明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三点共线随堂训练在空间内，可以确定个平面的条件是两两相交的三条直线三条直线，其中的条与另外两条直线分别相交三个点三条直线，它们两两相交，但不交于同点两条直线答案若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分部分部分部分解析如图所示，三个平面可把空间分成部分答案求证如果条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面已知，∩，∩，求证直线共面证明如图所示，直线，确定个平面∩，，又∩，，又，，⊂直线共面如图所示，正方体的对角线与平面交于点，与交于点求证点共线证明，与，可确定个平面⊂平面，而，平面又直线∩平面，平面在平面与平面的交线上∩，平面，且平面又平面∩平面，，点共线如图，已知平面，相交于，设梯形中，，且⊂，⊂求证相交于点证明梯形中，是梯形的两腰必相交于点，设∩，又⊂，⊂，，且，∩又∩，，相交于点第二章点直线平面之间的位置关系空间点直线平面之间的位置关系平面课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础课前热身平面的基本性质公理内容图形符号语言表达公理如果条直线上的两点在个平面内，公理三点不共线⇒存在唯的平面，使公理如果两个不重合的平面有个公共点，那么它们条过该点的公共直线点直线平面之间的位置关系及语言表达文字语言表达图形符号语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外文字语言表达图形符号语言表达直线在平面内直线在平面外平面，相交于那么这条直线在此平面内，，且，，则⊂过不在条直线上的三点，有且只有个平面有且只有，且⇒∩，且自我校对∉∉⊂⊄∩名师讲解准确理解平面的概念“平面”是个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念，对“平面”这概念应从以下三个方面理解“平面”是平的“平面”无厚度“平面”是无边界的，可以向四面八方无限延展这就是人们常说的平面的“无限延展性”空间图形的画法关于平面的画法要注意以下几点通常画的平行四边形表示的是整个平面需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画条线段来表示加“通常”二字