的方程组，若方程组有解，则两直线相交若方程组无解，则两直线平行若方程组有无数组解，则两直线重合过定点的直线系问题二例求证不论取什么实数，直线总过定点分析由题意知不论取什么值，直线总是通过定点，也就是说与的取值无关，因此可将方程变形为的方程，令的系数为，解方程组得出定点坐标证明证法把原方程变形，得，此式对于的任意实数都成立，，即直线过定点，证法取，得，取，得把点，代入直线方程，左边右边所以不论取什么实数，点，总在直线上，故该直线过定点，规律技巧求直线过定点的两种常用方法特殊值法取的两个特殊值，得到两个具体的直线方程，这两个方程的交点坐标即为所求定点的坐标方程法将直线方程整理成关于的方程的形式，令的系数为零，得到方程组，该方程组的解即为所求定点的坐标对称问题三例过点,关于直线的对称点的坐无解，这点的方程为解法解方程组得，两条直线和的交点坐标为，又直线经过原点，直线的方程上，故的方程为，即答案直线经过原点，且经过另两条直线和的交点，求直线的方程解解法设直线的方程为，直线过原其方程为，即答案直线关于直线对称的直线方程是解析如图所示，的斜率为，所求直线的斜率由得交点该点应在，第种方法简便随堂训练已知点则线段的垂直平分线的方程为解析的中点坐标为，垂直平分线的斜率为，的坐标为，规律技巧点关于点的对称问题是最基本的对称问题，些图形的对称问题都可以转化为点的对称问题本例介绍了两种方法，其基本思想都是用直线是线段的中垂线的性质解答比较知⊥，的方程为，即解方程组得与的交点，由中点坐标公式，得即解得，的坐标为，分析先求直线的方程，再解方程组求的坐标解设点，的对称点的坐标分析设利用对称的特点直接求的坐标解设点由⊥及的中点在上得方程组式，得，将直线方程整理成关于的方程的形式，令的系数为零，得到方程组，该方程组的解即为所求定点的坐标对称问题三例过点,关于直线的方程，再解方程组求的坐标解设点，⊥，的方程为，即解方程组得与的交点，由中点坐标公点在上得方程组，即解得，的坐标为，分析先求直线为所求定点的坐标对称问题三例过点,关于直线的对称点的坐标分析设利用对称的特点直接求的坐标解设点由⊥及的中两种常用方法特殊值法取的两个特殊值，得到两个具体的直线方程，这两个方程的交点坐标即为所求定点的坐标方程法将直线方程整理成关于的方程的形式，令的系数为零，得到方程组，该方程组的解即证法取，得，取，得把点，代入直线方程，左边右边所以不论取什么实数，点，总在直线上，故该直线过定点，规律技巧求直线过定点的的系数为，解方程组得出定点坐标证明证法把原方程变形，得，此式对于的任意实数都成立，，即直线过定点，合过定点的直线系问题二例求证不论取什么实数，直线总过定点分析由题意知不论取什么值，直线总是通过定点，也就是说与的取值无关，因此可将方程变形为的方程，令无解，这表明直线和没有公共点，故规律技巧求两直线的交点，就是解由两条直线方程组成的方程组，若方程组有解，则两直线相交若方程组无解，则两直线平行若方程组有无数组解，则两直线重合无解，这表明直线和没有公共点，故规律技巧求两直线的交点，就是解由两条直线方程组成的方程组，若方程组有解，则两直线相交若方程组无解，则两直线平行若方程组有无数组解，则两直线重合过定点的直线系问题二例求证不论取什么实数，直线总过定点分析由题意知不论取什么值，直线总是通过定点，也就是说与的取值无关，因此可将方程变形为的方程，令的系数为，解方程组得出定点坐标证明证法把原方程变形，得，此式对于的任意实数都成立，，即直线过定点，证法取，得，取，得把点，代入直线方程，左边右边所以不论取什么实数，点，总在直线上，故该直线过定点，规律技巧求直线过定点的两种常用方法特殊值法取的两个特殊值，得到两个具体的直线方程，这两个方程的交点坐标即为所求定点的坐标方程法将直线方程整理成关于的方程的形式，令的系数为零，得到方程组，该方程组的解即为所求定点的坐标对称问题三例过点,关于直线的对称点的坐标分析设利用对称的特点直接求的坐标解设点由⊥及的中点在上得方程组，即解得，的坐标为，分析先求直线的方程，再解方程组求的坐标解设点，⊥，的方程为，即解方程组得与的交点，由中点坐标公式，得，将直线方程整理成关于的方程的形式，令的系数为零，得到方程组，该方程组的解即为所求定点的坐标对称问题三例过点,关于直线的对称点的坐标分析设利用对称的特点直接求的坐标解设点由⊥及的中点在上得方程组，即解得，的坐标为，分析先求直线的方程，再解方程组求的坐标解设点，⊥，的方程为，即解方程组得与的交点，由中点坐标公式，得，的坐标为，规律技巧点关于点的对称问题是最基本的对称问题，些图形的对称问题都可以转化为点的对称问题本例介绍了两种方法，其基本思想都是用直线是线段的中垂线的性质解答比较知，第种方法简便随堂训练已知点则线段的垂直平分线的方程为解析的中点坐标为，垂直平分线的斜率为，其方程为，即答案直线关于直线对称的直线方程是解析如图所示，的斜率为，所求直线的斜率由得交点该点应在上，故的方程为，即答案直线经过原点，且经过另两条直线和的交点，求直线的方程解解法设直线的方程为，直线过原点的方程为解法解方程组得，两条直线和的交点坐标为，又直线经过原点，直线的方程为，即已知为直线方程，无论取何实数，直线必过定点，求该定点的坐标解解法分别令得由得，直线过定点,解法由，得，令，则，得，直线过定点,如图，条光线从点,发出，经轴反射后通过点求入射光线和反射光线所在的直线方程解点,关于轴的对称点为由两点式可得的方程为，即同理点,关于轴的对称点为，直线的方程为，即入射光线所在的直线方程为，反射光线所在的直线方程为第三章直线与方程直线的交点坐标与距离公式两条直线的交点坐标课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础课前热身两条直线的交点坐标设直线与两条直线与的交点坐标就是方程组，的反过来，方程组的解就是两直线与的利用两直线的交点个数可以判断两直线的位置关系方程组有唯解⇔和方程组无解⇔和方程组有无穷多解⇔与解交点坐标自我校对相交平行重合名师讲解两条直线相交的判定解两直线的方程组成的方程组，若只有个公共解，则两直线相交在两直线的斜率都存在的条件下，若斜率不等，则两直线相交直线系方程经过两直线，交点的直线系方程为，其中两直线不平行，在此方程中，给定个值，就对应条直线，但无论取什么实数，都得不到，即它不表示直线课堂互动探究剖析归纳触类旁通两直线的交点及应用例分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点和和和典例剖析解方程组，的解为因此直线和相交，交点坐标为，方程组，有无数组解，这表明直线和重合方程组，无解，这表明直线和没有公共点，故规律技巧求两直线的交点，就是解由两条直线方程组成的方程组，若方程组有解，则两直线相交若方程组无解，则两直线平行若方程组有无数组解，则两直线重合过定点的直线系问题二例求证不论取什么实数，直线总过定点分析由题意知不论取什么值，直线总是通过定点，也就是说与的取值无关，因此可将方程变形为的方程，令的系数为，解方程组得出定点坐标证明证法把原方程变形，得，此式对于的任意实数都成立，，即直线过定点，证法取，得，取，得把点，代入直线方程，左边右边所以不论取什么实数，点，总在直线上，故该直线过定点，规律技巧求直线过定点的两种常用方法特殊值法取的两个特殊值，得到两个具体的直线方程，这两个方程的交点坐标即为所求定点的坐标方程法将直线方程整理成关于的方程的形式，令的系数为零，得到方程组，该方程组的解即为所求定点的坐标对称问题三例过点,关于直线的对称点的坐无解，这表明直线和没有公共点，故规律技巧求两直线的交点，就是解由两条直线方程组成的方程组，若方程组有解，则两直线相交若方程组无解，则两直线平行若方程组有无数组解，则两直线重合过定点的直线系问题二例求证不论取什么实数，直线总过定点分析由题意知不论取什么值，直线总是通过定点，也就是说与的取值无关，因此可将方程变形为的方程，令的系数为，解方程组得出定点坐标证明证法把原方程变形，得，此式对于的任意实数都成立，，即直线过定点，证法取，得，取，得把点，代入直线方程，左边右边所以不论取什么实数，点，总在直线上，故该直线过定点，规律技巧求直线过定点的两种常用方法特殊值法取的两个特殊值，得到两个具体的直线方程，这两个方程的交点坐标即为所求定点的坐标方程法将直线方程整理成关于的方程的形式，令的系数为零，得到方程组，该方程组的解即为所求定点的坐标对称问题三例过点,关于直线的对称点的坐标分析设利用对称的特点直接求的坐标解设点由⊥及的中点在上得方程组，即解得，的坐标为，分析先求直线的方程，再解方程组求的坐标解设点，⊥，的方程为，即解方程组得与的交点，由中点坐标公式，得，合过定点的直线系问题二例求证不论取什么实数，直线总过定点分析由题意知不论取什么值，直线总是通过定点，也就是说与的取值无关，因此可将方程变形为的方程，令证法取，得，取，得把点，代入直线方程，左边右边所以不论取什么实数，点，总在直线上，故该直线过定点，规律技巧求直线过定点的为所求定点的坐标对称问题三例过点,关于直线的对称点的坐标分析设利用对称的特点直接求的坐标解设点由⊥及的中的方程，再解方程组求的坐标解设点，⊥，的方程为，即解方程组得与的交点，由中点坐标公的对称点的坐标分析设利用对称的特点直接求的坐标解设点由⊥及的中点在上得方程组⊥，的方程为，即解方程组得与的交点，由中点坐标公式，得第种方法简便随堂训练已知点则线段的垂直平分线的方程为解析的中点坐标为，垂直平分线的斜率为，上，故的方程为，即答案直线经过原点，且经过另两条直线和的交点，求直线的方程解解法设直线的方程为，直线过原的方程组，若方程组有解，则两直线相交若方程组无解，则两直线平行若方程组有无数组解，则两直线重合过定点的直线