时，由正弦定理，得，舰艇航行的方位角为规律技巧首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意弄清楚已知与所求，再根据题意画出示意图，这是最关键最重要的步，通过这步可将实际问题转化为能用数学方法解决的问题通过本题体会正弦定理余弦定理“联袂”使用的优越性例在个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域点正北海里处有雷达观测站时刻测得艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东其中，且与点相距海里的位置求该船的行驶速度单位海里小时若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解如图，，由于，所以由余弦定理，得所以船的行驶速度为海里小时如图所示，以为原径的长约为米规律技巧解题关键是根据实际问题，找出等量关系，利用余弦定理列出方程求解三分类讨论的思想例已知，钝角的三内角所对的边分别为若方程，由题意，得米，米，，在中，由余弦定理，得，即，解得米答这扇形的半钟米，求该扇形的半径的长精确到米分析已知，，连接，则，在中，已知，用余弦定理可求解设该扇形的半径为米，连接图，住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有条平行于的小路已知人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟若此人步行的速度为每分整理得解得，或规律技巧正余弦定理可以帮助进行三角形中边角关系的互化具体到问题时，究竟如何转化，应该根据已知条件的特征去分析确定二函数与方程的思想例如，把代入余弦定理，得代入中，得，即，小若求的值分析在已知等式中，应用正弦定理转化为角之间的关系，利用三角公式求在中，应用余弦定理转化为含的方程求解解由正弦定理，得，设置在点及点处，且小区里有条平行于的小路已知人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长精确到米求角的大弦定理可以帮助进行三角形中边角关系的互化具体到问题时，究竟如何转化，应该根据已知条件的特征去分析确定二函数与方程的思想例如图，住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口，把代入余弦定理，得整理得解得，或规律技巧正余，即，理转化为角之间的关系，利用三角公式求在中，应用余弦定理转化为含的方程求解解由正弦定理，得，代入中，得，故是直角三角形例在中，分别是角的对边，且求角的大小若求的值分析在已知等式中，应用正弦定即，定理化为边的关系解原条件可转化为由正弦余弦定理，得角形问题推理演算三角形问题的解还原说明实际问题的解教学思想转化与化归的思想例在中试判断的形状分析用正弦余弦定角形问题推理演算三角形问题的解还原说明实际问题的解教学思想转化与化归的思想例在中试判断的形状分析用正弦余弦定理化为边的关系解原条件可转化为由正弦余弦定理，得即故是直角三角形例在中，分别是角的对边，且求角的大小若求的值分析在已知等式中，应用正弦定理转化为角之间的关系，利用三角公式求在中，应用余弦定理转化为含的方程求解解由正弦定理，得，代入中，得，即，，把代入余弦定理，得整理得解得，或规律技巧正余弦定理可以帮助进行三角形中边角关系的互化具体到问题时，究竟如何转化，应该根据已知条件的特征去分析确定二函数与方程的思想例如图，住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有条平行于的小路已知人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长精确到米求角的大小若求的值分析在已知等式中，应用正弦定理转化为角之间的关系，利用三角公式求在中，应用余弦定理转化为含的方程求解解由正弦定理，得，代入中，得，即，，把代入余弦定理，得整理得解得，或规律技巧正余弦定理可以帮助进行三角形中边角关系的互化具体到问题时，究竟如何转化，应该根据已知条件的特征去分析确定二函数与方程的思想例如图，住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有条平行于的小路已知人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长精确到米分析已知，，连接，则，在中，已知，用余弦定理可求解设该扇形的半径为米，连接，由题意，得米，米，，在中，由余弦定理，得，即，解得米答这扇形的半径的长约为米规律技巧解题关键是根据实际问题，找出等量关系，利用余弦定理列出方程求解三分类讨论的思想例已知，钝角的三内角所对的边分别为若方程有实根，求的值对于中的值，若，且有关系式，试求角的度数分析因元二次方程有实根可求出的范围，然后利用为整数的条件，确定的值由条件，可以确定，从而求出，再利用关系，结合正弦定理求出，解方程有实根，解得，在钝角中又，，或，由正弦定理，得即，或当时，，或，与为钝角三角形矛盾由余弦定理，得，，规律技巧本题考查了正弦函数的值域正弦定理余弦定理以及分类讨论的思想四数形结合的思想例渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间分析根据题意画出图形，利用舰艇靠近渔轮所需时间与渔轮用的时间相同，解三角形即可解如图，设所需时间为，则，在中，根据余弦定理，得或舍去舰艇需小时靠近渔轮此时，由正弦定理，得，舰艇航行的方位角为规律技巧首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意弄清楚已知与所求，再根据题意画出示意图，这是最关键最重要的步，通过这步可将实际问题转化为能用数学方法解决的问题通过本题体会正弦定理余弦定理“联袂”使用的优越性例在个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域点正北海里处有雷达观测站时刻测得艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东其中，且与点相距海里的位置求该船的行驶速度单位海里小时若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解如图，，由于，所以由余弦定理，得所以船的行驶速度为海里小时如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，设点，的坐标分别是与轴的交点为由题设有，，所以过点，的直线的斜率，直线的方程为又点，到直线的距离所以船会进入警戒水域第章解三角形本章回顾知识结构方法总结正弦定理正弦定理在个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理主要有两个方面的应用是已知三角形的任意两个角与边，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边二是已知三角形的任意两边与其中边的对角，应用正弦定理，可以计算出另边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角值得注意的是已知三角形的任意两边与其中边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不唯，可结合三角形中大边对大角的性质来判断解的个数利用正弦定理证明恒等式在三角形中，有时可利用正弦定理证明含边角关系的恒等式，常利用正弦定理的变形式将边化成角，再利用三角公式进行证明，在三角形中正弦定理与三角函数有密切的关系，学习时，应予以注意余弦定理余弦定理三角形的任何边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即余弦定理主要有两方面的应用是已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出个角，进而求出其他两角在初中已经学过勾股定理，它是余弦定理的特例，而余弦定理又可看做是勾股定理的推广，应用中要注意定理的变式，要能够灵活应用在解三角形时，常常将正弦定理余弦定理结合在起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时，要注意与平面几何中的有关性质定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件应用举例正弦定理，余弦定理在实际生产生活中，有着非常广泛的应用常见题型有距离问题高度问题角度问题，以及求平面图形的面积问题等解决这类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，可用框图表示实际问题抽象概括解三角形问题推理演算三角形问题的解还原说明实际问题的解教学思想转化与化归的思想例在中试判断的形状分析用正弦余弦定理化为边的关系解原条件可转化为由正弦余弦定理，得即故是直角三角形例在中，分别是角的对边，且求角的大小若求的值分析在已知等式中，应用正弦定理转化为角之间的关系，利用三角公式求在中，应用余弦定理转化为含的方程求解解由正弦定理，得，代入中，得，即，，把代入余弦定理，得整理得解得，或规律技巧正余弦定角形问题推理演算三角形问题的解还原说明实际问题的解教学思想转化与化归的思想例在中试判断的形状分析用正弦余弦定理化为边的关系解原条件可转化为由正弦余弦定理，得即故是直角三角形例在中，分别是角的对边，且求角的大小若求的值分析在已知等式中，应用正弦定理转化为角之间的关系，利用三角公式求在中，应用余弦定理转化为含的方程求解解由正弦定理，得，代入中，得，即，，把代入余弦定理，得整理得解得，或规律技巧正余弦定理可以帮助进行三角形中边角关系的互化具体到问题时，究竟如何转化，应该根据已知条件的特征去分析确定二函数与方程的思想例如图，住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有条平行于的小路已知人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长精确到米定理化为边的关系解原条件可转化为由正弦余弦定理，得，故是直角三角形例在中，分别是角的对边，且求角的大小若求的值分析在已知等式中，应用正弦定，即，弦定理可以帮助进行三角形中边角关系的互化具体到问题时，究竟如何转化，应该根据已知条件的特征去分析确定二函数与方程的思想例如图，住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口小若求的值分析在已知等式中，应用正弦定理转化为角之间的关系，利用三角公式求在中，应用余弦定理转化为含的方程求解解由正弦定理，得，，把代入余弦定理，得图，住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有条平行于的小路已知人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟若此人步行的速度为每分，由题意，得米，米，，在中，由余弦定理，得，即，解得米答这扇形的半时，由正弦定理，得，舰艇航行的方位角为规律技巧首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意弄清楚已知与所求，再根据题意画出示意图，这是最关键最重要的步，通过这步可将实际问题转化为能用数学方法解决的问题通过本题体会正弦定理余弦定理“联袂”使用的