第章解三角形算法与程序框图第三课时正弦定理余弦定理的综合应用课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引掌握正弦定理余弦定理及其变式巩固用正弦定理余弦定理等知识和方法解决三角形中的几何计算问题课前热身解三角形问题的几种类型在三角形的六个元素中，要知道三个其中至少有个为边才能解该三角形据此可按已知条件分以下几种情况名师讲解在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理根据解题经验，已知两边和边的对角或已知两角及边时，通常选择正弦定理来解三角形已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是在此范围内同个正弦值对应两个角，个锐角和个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意但是在，内个余弦值仅对应个角，用余弦定理求出的是角形综上知，为等腰直角三角形规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时般有以下两个思路先化为角的关系式，再化简求值先化为边的关系式，再化简求值综合应用三例由，利用正弦定理，得，是直角三角形又由，得，即即故是等腰三角，由，可得，为锐角，从而是等腰直角三角形解法为外接圆半径，进行边角间的相互转化，也可以用余弦定理转化为边的关系，再进行判断解解法由，利用正弦定理，得，故是直角三角形，且试判断的形状分析已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式的面积由已知及余弦定理得所以当且仅当时，等号成立因此面积的最大值为判断三角形的形状二例在中，若，由得又，，得又，所，或为等腰三角形或直角三角形，故错或为直角三角形或钝角三角形，故错，则为钝角三角形其中正确命题的序号是把你认为正确的都填上错解错因分析丢解，造成错解或时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必要时也可以列出方程组求解易错探究对于，有如下命题若，则为等腰三角形若，则为直角三角形若规律技巧将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的联系，当条件够用理，得，设，则，即，舍去，即在中，由正弦定理，得中，已知两边和边的对角，用正弦定理可求出另边的对角，但得不到其与的联系可再考虑用余弦定理求出，其恰是两个三角形的公共边，这样可在中应用正弦定理求解在中，由余弦定先化为边的关系式，再化简求值综合应用三例如图，已知在四边形中，⊥，，，求的长分析本题图形是由两个三角形组成的四边形，在即故是等腰三角形综上知，为等腰直角三角形规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时般有以下两个思路先化为角的关系式，再化简求值是等腰直角三角形解法由，利用正弦定理，得，是直角三角形又由，得，即理，得，故是直角三角形，且，由，可得，为锐角，从而理，得，故是直角三角形，且，由，可得，为锐角，从而是等腰直角三角形解法由，利用正弦定理，得，是直角三角形又由，得，即即故是等腰三角形综上知，为等腰直角三角形规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时般有以下两个思路先化为角的关系式，再化简求值先化为边的关系式，再化简求值综合应用三例如图，已知在四边形中，⊥，，，求的长分析本题图形是由两个三角形组成的四边形，在中，已知两边和边的对角，用正弦定理可求出另边的对角，但得不到其与的联系可再考虑用余弦定理求出，其恰是两个三角形的公共边，这样可在中应用正弦定理求解在中，由余弦定理，得，设，则，即，舍去，即在中，由正弦定理，得规律技巧将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必要时也可以列出方程组求解易错探究对于，有如下命题若，则为等腰三角形若，则为直角三角形若，则为钝角三角形其中正确命题的序号是把你认为正确的都填上错解错因分析丢解，造成错解或，或为等腰三角形或直角三角形，故错或为直角三角形或钝角三角形，故错，由得又，，得又，所的面积由已知及余弦定理得所以当且仅当时，等号成立因此面积的最大值为判断三角形的形状二例在中，若试判断的形状分析已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式为外接圆半径，进行边角间的相互转化，也可以用余弦定理转化为边的关系，再进行判断解解法由，利用正弦定理，得，故是直角三角形，且，由，可得，为锐角，从而是等腰直角三角形解法由，利用正弦定理，得，是直角三角形又由，得，即即故是等腰三角形综上知，为等腰直角三角形规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时般有以下两个思路先化为角的关系式，再化简求值先化为边的关系式，再化简求值综合应用三例如图，已知在四边形中，⊥，，，求的长分析本题图形是由两个三角形组成的四边形，在中，已知两边和边的对角，用正弦定理可求出另边的对角，但得不到其与的联系可再考虑用余弦定理求出，其恰是两个三角形的公共边，这样可在中应用正弦定理求解在中，由余弦定理，得，设，则，即，舍去，即在中，由正弦定理，得规律技巧将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必要时也可以列出方程组求解易错探究对于，有如下命题若，则为等腰三角形若，则为直角三角形若，则为钝角三角形其中正确命题的序号是把你认为正确的都填上错解错因分析丢解，造成错解或，或为等腰三角形或直角三角形，故错或为直角三角形或钝角三角形，故错，由正弦定理，得是钝角三角形，故正确正解随堂训练中则为等腰三角形直角三角形等腰直角三角形等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得代入式子，得即整理得因为故选答案已知中，求解由正弦定理，有，由于，或当时于是当时于是或如图所示，四边形中，已知，求的长的长解在中，设，由余弦定理，得，即或舍，即在中，由正弦定理，得，即，在中，由余弦定理，得，设的角的对边长分别为，且求的值求的值解由余弦定理，得，又由知，第章解三角形算法与程序框图第三课时正弦定理余弦定理的综合应用课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引掌握正弦定理余弦定理及其变式巩固用正弦定理余弦定理等知识和方法解决三角形中的几何计算问题课前热身解三角形问题的几种类型在三角形的六个元素中，要知道三个其中至少有个为边才能解该三角形据此可按已知条件分以下几种情况名师讲解在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理根据解题经验，已知两边和边的对角或已知两角及边时，通常选择正弦定理来解三角形已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是在此范围内同个正弦值对应两个角，个锐角和个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意但是在，内个余弦值仅对应个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论课堂互动探究剖析归纳触类旁通正余弦定理的综合应用例的内角的对边分别为，已知求若，求面积的最大值典例剖析分析利用正弦定理将已知转化为三角函数，可求由的面积知，求的最大值，只要求的最大值，可利用余弦定理及基本不等式可解解由已知及正弦定理得又，故由得又，，得又，所的面积由已知及余弦定理得所以当且仅当时，等号成立因此面积的最大值为判断三角形的形状二例在中，若试判断的形状分析已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式为外接圆半径，进行边角间的相互转化，也可以用余弦定理转化为边的关系，再进行判断解解法由，利用正弦定理，得，故是直角三角形，且，由，可得，为锐角，从而是等腰直角三角形解法由，利用正弦定理，得，是直角三角形又由，得，即即故是等腰三角形综上知，为等腰直角三角形规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时般有以下两个思路先化为角的关系式，再化简求值先化为边的关系式，再化简求值综合应用三例如图，已知在四边形中，⊥，，，求的长分析本题图形是由两个三角形组成的四边形，在中，已知两边和边的对角，用正弦定理可求出另边的对角，但得不到其与的联系可再考虑用余弦定理求出，其恰是两个三角形的公共边，这样可在中应用正弦定理求解在中，由余弦定理，得，设，则，即，舍去，即在中，由正弦定理，得规律技巧将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的联系，当条件够用时，理，得，故是直角三角形，且，由，可得，为锐角，从而是等腰直角三角形解法由，利用正弦定理，得，是直角三角形又由，得，即即故是等腰三角形综上知，为等腰直角三角形规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时般有以下两个思路先化为角的关系式，再化简求值先化为边的关系式，再化简求值综合应用三例如图，已知在四边形中，⊥，，，求的长分析本题图形是由两个三角形组成的四边形，在中，已知两边和边的对角，用正弦定理可求出另边的对角，但得不到其与的联系可再考虑用余弦定理求出，其恰是两个三角形的公共边，这样可在中应用正弦定理求解在中，由余弦定理，得，设，则，即，舍去，即在中，由正弦定理，得规律技巧将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必要时也可以列出方程组求解易错探究对于，有如下命题若，则为等腰三角形若，则为直角三角形若，则为钝角三角形其中正确命题的序号是把你认为正确的都填上错解错因分析丢解，造成错解或，或为等腰三角形或直角三角形，故错或为直角三角形或钝角三角形，故错是等腰直角三角形解法由，利用正弦定理，得，是直角三角形又由，得，即先化为边的关系式，再化简求值综合应用三例如图，已知在四边形中，⊥，，，求的长分析本题图形是由两个三角形组成的四边形，在理，得，设，则，即，舍去，即在中，由正弦定理，得时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必要时也可以列出方程组求解易错探究对于，有如下命题若，则为等腰三角形若，则为直角三角形若，或为等腰三角形或直角三角形，故错或为直角三角形或钝角三角形，故错