求证平面分析要证平面，只要证与平面内的条直线平行即可因为，分别是，的中点，所以可利用三角形的中位线，在平面内找到与平行的直线证明取的中点，连接，为的中点，为的中位线，则綊又綊，綊四边形为平行四边形，又⊂平面，⊄平面，平面点评线面平行的证明技巧证线面平行的关键是在已知平面内找到条直线和已知直线平行，即要证线面平行，先证线线平行寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形的性质，三角形梯形中位线性质平行线分线段成比例定理平行公理等变式探究下列命题其中是直线，表示平面中，正确的个数是若，⊂，则若，，则若，，则若，⊂，则个个个个解析有可能在平面内可能平行相交或异面可能在内有可能异面答案考点二平面与平面平行的判定例如图，在正方体中平面内有无数条直线平行于平面平面与平面同平行于条直线平面内有无数个点到平面的距离相等平面内键是设法在面内找到条与已知直线平行的直线证明平面与平面平行的关键是证明个面内的两条平面，⊄平面，平面又平面，且⊂平面，⊂平面，∩，平面平面新思维随堂自测满足什么条件时如图，连接分别是，的中点，又⊂平面，⊄平面直线平面连接分别是，的中点，又⊂决必须灵活运用三种平行关系的判定定理变式探究如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点求证直线平面平面平面证明另个平面平行立体几何中常见的平行关系是线线平行线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系相互转化的，即线线平行判定线面平行判定面面平行所以平行关系的综合问题的解平面，又∩，平面平面点评证明直线与平面平行问题的关键是设法在面内找到条与已知直线平行的直线证明平面与平面平行的关键是证明个面内的两条相交直线都和边形，所以又因为⊂平面，所以平面由知，⊄平面，⊂平面，平面，又，⊄平面，⊂平面，的中点，易证四边形是平行四边形，所以，又因为，所以取的中点，连接则綊，又綊，所以綊，所以四边形是平行四平面平面平面分析取中点，只需证与即可取中点，只需证证明平面内两条相交直线与平面平行证明如图所示，取平面平行的判定定理，正确答案考点三线面面面平行的综合问题例深圳高检测如图所示，在正方体中分别是，的中点求证，但是平面与平面不平行因此，都不正确正确，事实上，因为个平面内任意条直线都平行于另个平面，则这两个平面必无公共点要注意“任意条直线”与“无数条直线”的区别是平面与中，在平面内，在上任取点，过点作交于，则由线面平行的判定定理知都平行于平面，用同样的方法可以在平面内作出无数条直线都与平面平行个平面平行若个平面内任何条直线都平行于另个平面，则这两个平面平行若个平面内的两条相交直线分别平行于另个平面，则这两个平面平行解析如图，长方体件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行变式探究下列说法中正确的是若个平面内有两条直线都与另个平面平行，则这两个平面平行若个平面内有无数条直线都与另个平面平行，则这两法，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线或辅助面，使问题转化为证线面平行或线线平行两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法解答问题时定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条四边形是平行四边形，又⊄平面，⊂平面，平面又∩，平面平面点评本例的证明体现了证明面面平行的常用方四点共面易知，，又⊄平面，⊂平面平面连接分别是的中点，，，四点共面易知，，又⊄平面，⊂平面平面连接分别是的中点，，，四边形是平行四边形，又⊄平面，⊂平面，平面又∩，平面平面点评本例的证明体现了证明面面平行的常用方法，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线或辅助面，使问题转化为证线面平行或线线平行两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法解答问题时定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行变式探究下列说法中正确的是若个平面内有两条直线都与另个平面平行，则这两个平面平行若个平面内有无数条直线都与另个平面平行，则这两个平面平行若个平面内任何条直线都平行于另个平面，则这两个平面平行若个平面内的两条相交直线分别平行于另个平面，则这两个平面平行解析如图，长方体中，在平面内，在上任取点，过点作交于，则由线面平行的判定定理知都平行于平面，用同样的方法可以在平面内作出无数条直线都与平面平行，但是平面与平面不平行因此，都不正确正确，事实上，因为个平面内任意条直线都平行于另个平面，则这两个平面必无公共点要注意“任意条直线”与“无数条直线”的区别是平面与平面平行的判定定理，正确答案考点三线面面面平行的综合问题例深圳高检测如图所示，在正方体中分别是，的中点求证平面平面平面分析取中点，只需证与即可取中点，只需证证明平面内两条相交直线与平面平行证明如图所示，取的中点，易证四边形是平行四边形，所以，又因为，所以取的中点，连接则綊，又綊，所以綊，所以四边形是平行四边形，所以又因为⊂平面，所以平面由知，⊄平面，⊂平面，平面，又，⊄平面，⊂平面，平面，又∩，平面平面点评证明直线与平面平行问题的关键是设法在面内找到条与已知直线平行的直线证明平面与平面平行的关键是证明个面内的两条相交直线都和另个平面平行立体几何中常见的平行关系是线线平行线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系相互转化的，即线线平行判定线面平行判定面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理变式探究如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点求证直线平面平面平面证明如图，连接分别是，的中点，又⊂平面，⊄平面直线平面连接分别是，的中点，又⊂平面，⊄平面，平面又平面，且⊂平面，⊂平面，∩，平面平面新思维随堂自测满足什么条件时平面内有无数条直线平行于平面平面与平面同平行于条直线平面内有无数个点到平面的距离相等平面内键是设法在面内找到条与已知直线平行的直线证明平面与平面平行的关键是证明个面内的两条相交直线都和另个平面平行立体几何中常见的平行关系是线线平行线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系相互转化的，即线线平行判定线面平行判定面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理变式探究如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点求证直线平面平面平面证明如图，连接分别是，的中点，又⊂平面，⊄平面直线平面连接分别是，的中点，又⊂平面，⊄平面，平面又平面，且⊂平面，⊂平面，∩，平面平面新思维随堂自测满足什么条件时平面内有无数条直线平行于平面平面与平面同平行于条直线平面内有无数个点到平面的距离相等平面内任意条直线与平行解析平行即是无公共点，因为内任意条直线与平行能保证无公共点，故选答案直线是平面外的条直线，下列条件中可能推出的是与内的条直线不相交与内的两条直线不相交与无数条直线不相交与内的任意条直线不相交解析由线面平行的定义知直线与平面无公共点，则与内的任意条直线不相交答案若个平面内的两条直线分别平行于另个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是定平行定相交平行或相交以上判断都不对解析如图中，与相交，图中，与平行答案如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是⊥三棱锥的体积为定值平面异面直线，所成的角为定值解析对于，可得出⊥平面，而是平面内的直线，因此⊥成立，故项不错对于，点到平面的距离也是点到平面的距离，等于正方体面对角线的半，而三角形的边，且到点距离为，所以其面积为定值，故，故项不错对于，因为平面平面，⊂平面，所以平面，故不错对于，当变化时，异面直线所成的角显然不是个定值，故项错误答案如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，是的中点，求证平面平面证明是的中点，又，又，四边形是平行四边形，又⊄平面，⊂平面，平面又，⊄平面，⊂平面，平面又∩，平面平面辨错解走出误区易错点条直线平行于个平面，就误认为它平行于这个平面内的切直线典例下列说法中正确的是条直线和个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行条直线和个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点过直线外点有且仅有个平面和已知直线平行如果直线和平面平行，那么过平面内点和直线平行的直线在内错解或错因分析是多解，是漏解由直线和平面平行的定义知，正确否定，可借助于教室的门所在平面在绕着其边转动时说明，如图的位置可有多种不同的情况故答案为正解目标导航能应用直线与平面平行平面与平面平行的判定定理判断或证明线面平行，面面平行重点易错点理解两个定理的含义，并会应用难点新知识预习探究知识点直线与平面平行的判定文字语言平面外条直线与此平面内的条直线平行，则该直线与此平面平行图形语言符号语言⊄，⊂，且⇒作用证明直线与平面平行练习如图所示的几何体中，是任意三角形，，且为的中点求证平面证明如图所示，取的中点，连接，分别是，的中点，又，而，四边形为平行四边形，，又⊂平面，⊄平面，平面知识点二平面与平面平行的判定文字语言个平面内的两条相交直线与另个平面平行，则这两个平面平行图形语言符号语言⊂，⊂，∩，，⇒作用证明两个平面平行练习宿州高检测如图，在四棱锥中，分别是的中点求证平面平面证明因为，分别是，的中点，所以，又因为⊄平面，⊂平面，所以平面，同理可证平面，因为∩，所以平面平面新视点名师博客解读线面平行的判定定理线面平行的判定定理包含三个条件直线在平面外即⊄直线在平面内即⊂两直线，平行即，三个条件缺不可定理充分体现了等价转化思想，它将线面平行问题转化为线线平行问题，即将空间问题转化为平面问题，即线线平行⇒线面平行此定理的作用是证明线面平行，关键是在平面内找到条直线与已知直线平行解读面面平行的判定定理定理中的平行于个平面内的“两条相交直线”是必不可少的定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行，即线面平行⇒面面平行如果个平面内的两条相交直线分别平行于另个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行新课堂互动探究考点直线与平面平行的判定例如图所示，四边形是平行四边形，是平面外点分别是，的中点，求证平面分析要证平面，只要证与平面内的条直线平行即可因为，分别是，的中点，所以可利用三角形的中位线，在平面内找到与平行的直线证明取的中点，连接，为的中点，为的中位线，则綊又綊，綊四边形为平行四边形，又⊂平面，⊄平面，平面点评线面平行的证明技巧证线面平行的关键是在已知平面内找到条直线和已知直线平行，即要证线面平行，先证线线平行寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形的性质，三角形梯形中位线性质平行线分线段成比例定理平行公理等变式