间的距离练习已知为三角形的三个顶点，求证为直角三角形证明由空间两点间的距离公式得，为直角三角形，其中为直角新视点名师博客点的坐标的确定空间直角坐标系中，空间点的坐标的确定，需三步完成过作平面的垂线，垂足为新课堂互动探究考点空间点的坐标的确定例如图，在三棱柱中，所有棱长都为，侧棱⊥底面，建立适当坐标系写出各顶点的坐标分析题中给出了三棱柱的棱长，要求各顶点的坐标，可以作出两两垂直的三条线分别为轴建立空间直角坐标系，然后确定各点坐标解析取的中点和的中点，可得⊥，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系因为三棱柱各棱长均为，所以可得,点评建点的位置对坐标的影响，如点的纵坐标应是长的相反数另外解答本类问题还常出现计算错误而失分，所以要加强计算能力的训练与培养变式探究如图所示，在长方体中，，，由及中点坐标公式得，，，故以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系正四面体的棱长为为底面的中心高为轴，建立空间直角坐标系解析设底面正三角形的中心为点，连接延长交于点，则⊥平面，是的中点，且⊥过点作，交于点，则⊥棱，的中点建立适当的空间直角坐标系，写出顶点，的坐标求的长分析正四面体也是正三棱锥，即其顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高，以底面正三角形的中心为坐标原点由中点坐标公式，可得，解得，所以考点三空间两点间的距离例如右图所示，已知正四面体的棱长为分别为原来的相反数，所以对称点为由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为点为线段的中点，设对称点由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴轴的分量变为平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为关于点的对称点是解析由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为由于点关于的对称点是关于平面的对称点是关于轴的对称点是关于轴的对称点是关于轴的对称点是余的两个数变为原来的相反数关于坐标平面的对称点，横纵坐标都不变，竖坐标变成原来的相反数变式探究在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是关于平面点评此类问题类比平面直角坐标系中点的对称问题，掌握对称点的变化规律，才能准确求解求对称点的问题常常可用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法如关于轴的对称点就是横坐标不变，其点的坐标为设所求对称点为，则点为线段的中点，由中点坐标公式，可得，即，故关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，故对称平面的对称点的坐标求点关于点的对称点的坐标分析可类比平面直角坐标系中的对称方式，明确关于各坐标轴，各坐标平面对称的两点，其点的坐标分量的关系，借助图形求解解析由于点，所以所以点的坐标为，点的坐标为考点二空间点的对称例在空间直角坐标系中，点求点关于轴的对称点的坐标求点关于，所以所以点的坐标为，点的坐标为考点二空间点的对称例在空间直角坐标系中，点求点关于轴的对称点的坐标求点关于平面的对称点的坐标求点关于点的对称点的坐标分析可类比平面直角坐标系中的对称方式，明确关于各坐标轴，各坐标平面对称的两点，其点的坐标分量的关系，借助图形求解解析由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为设所求对称点为，则点为线段的中点，由中点坐标公式，可得，即，故点评此类问题类比平面直角坐标系中点的对称问题，掌握对称点的变化规律，才能准确求解求对称点的问题常常可用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法如关于轴的对称点就是横坐标不变，其余的两个数变为原来的相反数关于坐标平面的对称点，横纵坐标都不变，竖坐标变成原来的相反数变式探究在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是关于平面的对称点是关于平面的对称点是关于轴的对称点是关于轴的对称点是关于轴的对称点是关于点的对称点是解析由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为由于点关于平面对称后，它在轴轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为由于点关于轴对称后，它在轴的分量不变，在轴轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为点为线段的中点，设对称点，由中点坐标公式，可得，解得，所以考点三空间两点间的距离例如右图所示，已知正四面体的棱长为分别为棱，的中点建立适当的空间直角坐标系，写出顶点，的坐标求的长分析正四面体也是正三棱锥，即其顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高，以底面正三角形的中心为坐标原点，高为轴，建立空间直角坐标系解析设底面正三角形的中心为点，连接延长交于点，则⊥平面，是的中点，且⊥过点作，交于点，则⊥，故以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系正四面体的棱长为为底面的中心，，，，由及中点坐标公式得，，点的位置对坐标的影响，如点的纵坐标应是长的相反数另外解答本类问题还常出现计算错误而失分，所以要加强计算能力的训练与培养变式探究如图所示，在长方体中，点在上在上且为的中点，求两点间的距离解析如图所示，分别以所在的直线为轴轴轴建立空间直角坐标系由题意可知，为的中点，是的三分之分点且靠近点，由两点间距离公式，得新思维随堂自测山东省青岛二中月考在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是解析本题主要考查空间直角坐标系中的中点坐标公式很明显的中点是原点，所以点的坐标是，故选答案浙江杭州模拟在空间直角坐标系中，设若，则实数的值是或或或或解析本题主要考查空间两点间的距离公式由题意得，解得或，故选答案正方体的棱长为，且，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为解析本题主要考查空间直角坐标系中的点的坐标如图所示，过点分别作平面和轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为由于，所以，所以点的坐标为，故选答案如图，以棱长为的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，若点为对角线的中点，点在棱上运动，则的最小值为解析本题主要考查空间直角坐标系中点的坐标及空间两点间的距离公式因为为的中点，所以，又点在棱上运动，所以可设，其中故，当时，最小，最小值为，故选答案已知当取最小值时，的值为解析本题主要考查空间两点间的距离公式以及二次函数的最值问题由题意得，当时取最小值，故选答案辨错解走出误区易错点建立空间直角坐标系时三条坐标轴不两两垂直典例在棱长都为的正三棱柱中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱各顶点的坐标错解以点为坐标原点，以分别为轴轴轴建立直角坐标系，如图因为正三棱柱的棱长均为，所以正三棱柱各顶点的坐标分别为错因分析因为所给的几何体是正三棱柱，所以底面为正三角形，因此，也就是轴与轴不垂直正解取的中点分别为，连接，根据正三棱柱的几何性质，两两互相垂直，且以所在的直线分别为轴轴轴建立直角坐标系，如图，则正三棱柱各顶点的坐标分别为反思建立空间直角坐标系，首先要找“墙角”，若无现成“墙角”，则要构造“墙角”目标导航了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意点的坐标的含义会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标重点理解空间两点间距离公式的推导过程和方法掌握空间两点间的距离公式及其简单应用难点新知识预习探究知识点空间直角坐标系空间直角坐标系以空间点为原点，建立三条两两垂直的数轴轴轴轴，这时我们说建立了个空间直角坐标系，其中点叫做坐标原点，轴轴轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面平面平面右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系空间点的坐标空间点的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标练习已知正方体的棱长为，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标解析是坐标原点，分别在轴轴轴的正半轴上，又正方体棱长为点在平面上，它在轴轴上的射影分别是，同理在平面上的射影是，在轴上的射影是，方法同，可求得，知识点二空间两点间的距离公式空间中任意点到原点之间的距离空间中任意两点，之间的距离练习已知为三角形的三个顶点，求证为直角三角形证明由空间两点间的距离公式得，为直角三角形，其中为直角新视点名师博客点的坐标的确定空间直角坐标系中，空间点的坐标的确定，需三步完成过作平面的垂线，垂足为新课堂互动探究考点空间点的坐标的确定例如图，在三棱柱中，所有棱长都为，侧棱⊥底面，建立适当坐标系写出各顶点的坐标分析题中给出了三棱柱的棱长，要求各顶点的坐标，可以作出两两垂直的三条线分别为轴建立空间直角坐标系，然后确定各点坐标解析取的中点和的中点，可得⊥，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系因为三棱柱各棱长均为，所以可得,点评建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单便于计算，般是要使尽量多的点落在坐标轴上对于长方体或正方体，般取相邻的三条棱为轴建立空间直角坐标系确定点的坐标时，最常用的方法就是求些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键变式探究如图，在长方体中分别是棱，上的点∶∶∶∶试建立适当的坐标系，写出，点的坐标解析以为坐标原点，射线的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示分别设，则所以所以点的坐标为，点的坐标为考点二空间点的对称例在空间直角坐标系中，点求点关于轴的对称点的坐标求点关于平面的对称点的坐标求点关于点的对称点的坐标分析可类比平面直角坐