，最小值为当时，的最小值为，的最大值为，中的较大者若，则，解得，所以当时，的最大值为当时，的最大值为反思对于轴动区间定或轴定区间动的二次函数问题，必须考虑对称轴不区间的位置关系，分类讨论思想是求解问题的关键第课时函数的最大值最小值目标导航理解函数的最大小值的概念及其几何意义重点会求些简单函数的最大值或最小值重点难点新知识预习探究知识点函数的最大值阅读教材第二三四自然段的有关内容，完成下列问题般地，设函数的定义域为如果存在实数满足对于任意的，都有存在，使得那么，称是函数的最大值练习判断正误正确的打，错误的打“”函数总成立，故的最大值为若函数在定义域内存在无数个使得成立，则的最大值为函数的最大值为解析因为在数在区间,的两个端点上分别取得最大值不最小值，即最大值为，最小值为例求函数在,上的最小值分析分类讨论对称轴不所给区间的位置关系求解解析函，所以，且，所以，即，所以函数在区间，上是减函数由知，函数在,上是减函数，因此，函，上是减函数求函数在,上的最值解析证明设，是区间，上的任意两个实数，且，由于如果函数在区间，上是增减函数，则在区间，的左右端点处分别取得最小大值和最大小值变式探究已知函数证明函数在，则函数，在处有最大值如果函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，则函数，在处有最小值由知，在,上为增函数，则，点评函数最值不单调性的关系如果函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数,且，，即在,上为增函数，所以，且，所以，即，所以函数在区间，上是减函数由知，函数在设任取，，上是减函数求函数在,上的最值解析证明设，是区间，上的任意两个实数，且，由于最小值如果函数在区间，上是增减函数，则在区间，的左右端点处分别取得最小大值和最大小值变式探究已知函数证明函数在减函数，则函数，在处有最大值如果函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，则函数，在处有增函数由知，在,上为增函数，则，点评函数最值不单调性的关系如果函数在区间，上是增函数，在区间，上是,且，，即在,上为已知函数，判断函数的单调性，并证明求函数的最大值和最小值分析先利用定义证明函数的单调性，再借助函数单调性求其最值解析设任取，的最大值最小值解析作出的图象如图由图象可知，时，的最大值为，时，的最小值为，所以的最大值为，最小值为考点二单调性法求函数的最值例荆州高检测取最大值为当时，取最小值，故的最大值为，最小值为点评图象法求最值的般步骤变式探究已知函数，，求函数求的最大值最小值分析可先画出的图象，观察图象的最高不最低点，从而确定最大最小值解析作出函数的图象如图由图象可知，当时，求的最大值最小值分析可先画出的图象，观察图象的最高不最低点，从而确定最大最小值解析作出函数的图象如图由图象可知，当时，取最大值为当时，取最小值，故的最大值为，最小值为点评图象法求最值的般步骤变式探究已知函数，，求函数的最大值最小值解析作出的图象如图由图象可知，时，的最大值为，时，的最小值为，所以的最大值为，最小值为考点二单调性法求函数的最值例荆州高检测已知函数，判断函数的单调性，并证明求函数的最大值和最小值分析先利用定义证明函数的单调性，再借助函数单调性求其最值解析设任取，,且，，即在,上为增函数由知，在,上为增函数，则，点评函数最值不单调性的关系如果函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，则函数，在处有最大值如果函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，则函数，在处有最小值如果函数在区间，上是增减函数，则在区间，的左右端点处分别取得最小大值和最大小值变式探究已知函数证明函数在，上是减函数求函数在,上的最值解析证明设，是区间，上的任意两个实数，且，由于，所以，且，所以，即，所以函数在区间，上是减函数由知，函数在设任取，,且，，即在,上为增函数由知，在,上为增函数，则，点评函数最值不单调性的关系如果函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，则函数，在处有最大值如果函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，则函数，在处有最小值如果函数在区间，上是增减函数，则在区间，的左右端点处分别取得最小大值和最大小值变式探究已知函数证明函数在，上是减函数求函数在,上的最值解析证明设，是区间，上的任意两个实数，且，由于，所以，且，所以，即，所以函数在区间，上是减函数由知，函数在,上是减函数，因此，函数在区间,的两个端点上分别取得最大值不最小值，即最大值为，最小值为例求函数在,上的最小值分析分类讨论对称轴不所给区间的位置关系求解解析函数图象的对称轴方程为，且函数图象开口向上，如图所示当时，在,上单调递减，故当时，在,上先减后增，故当时，在,上单调递增，故综上可知的最小值为点评探求二次函数在给定区间上的最值问题，般要先作出的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数图象的对称轴不所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据二次函数图象的对称轴不定义域区间的位置通常有三种关系定义域区间在对称轴右侧定义域区间在对称轴左侧定义域区间在对称轴的两侧变式探究求函数在区间,上的最大小值解析，对称轴为图图图图当时，由图可知当时，由图可知当时，由图可知当时，由图可知新思维随堂自测函数在区间,上的图象如图所示，则此函数的最小值最大值分别是解析由函数最值的几何意义知，当时，有最小值当时，有最大值，故选答案函数，，则的最大值与最小值分别为,以上都不对解析,时又,时，故选答案已知函数若有最小值，则的最大值为解析开口向下，对称轴，在,上单调递增，最小值为，最大值为，故选答案函数，,的最大值为解析函数在,上是单调减函数，的最大值为答案定义在上的函数对任意两个不等实数总有成立，且则在，上的最大值是解析由题意可知函数在上为增函数，则函数在，上最大的应为答案辨错解走出误区易错点分类不清，导致出错典例已知函数求函数的最大值和最小值错解函数的最小值为，最大值丌存在错因分析由就认为的最小值是，最大值丌存在是丌正确的因为这里函数的定义域是而且这里的二次函数的图象的对称轴的位置是丌确定的因此，应讨论直线相对于区间,的各种可能正解，由知，当时，由于在,上是减函数，故的最大值为，最小值为当时，的最小值为，的最大值为，中的较大者若，则，解得，所以当时，的最大值为当时，的最大值为反思对于轴动区间定或轴定区间动的二次函数问题，必须考虑对称轴不区间的位置关系，分类讨论思想是求解问题的关键第课时函数的最大值最小值目标导航理解函数的最大小值的概念及其几何意义重点会求些简单函数的最大值或最小值重点难点新知识预习探究知识点函数的最大值阅读教材第二三四自然段的有关内容，完成下列问题般地，设函数的定义域为如果存在实数满足对于任意的，都有存在，使得那么，称是函数的最大值练习判断正误正确的打，错误的打“”函数总成立，故的最大值为若函数在定义域内存在无数个使得成立，则的最大值为函数的最大值为解析因为在定义域内找丌到使得成立因为“无数”并非“所有”，故丌正确“”丌是个具体数答案知识点二函数的最小值阅读教材“思考”，完成下列问题般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足对于任意的，都有存在，使得那么，称是函数的最小值练习函数在,上的最大值为，最小值为解析因为函数在,上是单调递减函数，故，从而该函数的最大值为，最小值为答案新视点名师博客对函数最值的三点说明最大小值必须是个函数值，是值域中的个元素，如函数的最小值是，有最大小值定义中的“任意”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有成立，也就是说，函数的图象不能位于直线的上下方最大小值定义中的“存在”是说定义域中至少有个实数满足等号成立，也就是说的图象与直线至少有个交点函数的最值和值域的关系函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域函数的值域定存在，而函数的最大小值不定存在若函数的最值存在，则定是值域中的元素例如，函数对任意的，都有，但是的最大值不是，因为不在的值域内新课堂互动探究考点图象法求函数的最值例已知函数求的最大值最小值分析可先画出的图象，观察图象的最高不最低点，从而确定最大最小值解析作出函数的图象如图由图象可知，当时，取最大值为当时，取最小值，故的最大值为，最小值为点评图象法求最值的般步骤变式探究已知函数，，求函数的最大值最小值解析作出的图象如图由图象可知，时，的最大值为，时，的最小值为，所以的最大值为，最小值为考点二单调性法求函数的最值例荆州高检测已知函数，判断函数的单调性，并证明求函数的最大值和最小值分析先利用定义证明函数的单调性，再借助函数单调性求其最值解析设任取，,且，，即在,上为增函数由知，在,上为增函数，则，点评函数最值不单调性的关系如果函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，则函数，在处有最大值如果函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，则函数，在处有最小求的最大值最小值分析可先画出的图象，观察图象的最高不最低点，从而确定最大最小值解析作出函数的图象如图由图象可知，当时，取最大值为当时，取最小值，故的最大值为，最小值为点评图象法求最值的般步骤变式探究已知函数，，求函数的最大值最小值解析作出的图象如图由图象可知，时，的最大值为，时，的最小值为，所以的最大值为，最小值为考点二单调性法求函数的最值例荆州高检测已知函数，判断函数的单调性，并证明求函数的最大值和最小值分析先利用定义证明函数的单调性，再借助函数单调性求其最值解析设任取，,且，，即在,上为增函数由知，在,上为增函数，则，点评函数最值不单调性的关系如果函数在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，则函数，在处有最大值如果函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，则函数，在处有最小值如果函数在区间，上是增减函数，则在区间，的左右端点处分别取得最小大值和最大小值变式探究已知函数证明函数在，上是减函数求函数在,上的最值解析证明设，是区间，上的任意两个实数，且，由于，所以，且，所以，即，所以函数在区间，上是减函数由知，函数在取最大值为当时，取最小值，故的最大