两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角图示符号⊂，⊂，∩，，⊥，⊥⇒是二面角的平面角范围平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为，面分别为，的二面角记为如图所示，也可在，内棱以外的半平面部分分别取点将这个二面角记作二面角练习如图，正方体中，求二面角的平面角的大小解析在正方体中，⊥，⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥，是二面角的平面角在中，⊥二面角的平面角的大小是知识点二平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作画法两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直如图所示直二面角⊥判定定理文字语言个平面过另个平与直线所成的角为求证平面⊥平面求二面角的平面角的正切值解析⊥平面，⊥，又，⊥，∩，⊥角的方法技巧，如线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等变式探究银川高检测如图，在三棱锥中，⊥平面，点分别是和的中点，设，，直线是等腰直角三角形，，即二面角的大小是考点三线面垂直面面垂直的综合应用例如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，些作二面角的平面的直径，且点在圆周上，⊥又∩，⊥平面而⊂平面，⊥又是二面角的棱，是二面角的平面角由知小或三角函数值变式探究如右图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上的点，且，求二面角的大小解析由已知⊥平面，⊂平面，⊥是又四边形为正方形，即二面角平面角的度数为点评求空间角，如二面角直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大，⊥为二面角的平面角又由题意，二面角平面角的度数为⊥平面，⊥，⊥为二面角的平面角，又四边形为正方形，⊥，∩⊥平面，又⊂平面，平面⊥平面二面角平面角的度数为⊥平面，⊥数求二面角平面角的度数求二面角平面角的度数分析证明面⊥面定义法确定二面角为所求角，可求解析⊥平面，⊥即⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面考点二求二面角例四边形是正方形，⊥平面，且求二面角平面角的度解析⊥平面，⊂平面，⊥又，，，，，，，个平面内寻找直线与另平面垂直变式探究如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，⊥平面，∩，求证平面⊥平面根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进步转化为处理线线垂直问题证明平面与平面垂直的方法的外心为直角三角形，在上的射影为斜边的中点⊥平面又平面过，平面⊥平面点评对平面与平面垂直的判定定理的认识平面与平面垂直的判定定中，在中，即二面角为直二面角，故平面⊥平面证法二利用判定定理，点在平面上的射影为为共底边的等腰三角形设的中点，连接则⊥，⊥，为二面角的平面角在中，在为共底边的等腰三角形设的中点，连接则⊥，⊥，为二面角的平面角在中，在中，在中，即二面角为直二面角，故平面⊥平面证法二利用判定定理，点在平面上的射影为的外心为直角三角形，在上的射影为斜边的中点⊥平面又平面过，平面⊥平面点评对平面与平面垂直的判定定理的认识平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进步转化为处理线线垂直问题证明平面与平面垂直的方法根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中个平面内寻找直线与另平面垂直变式探究如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，⊥平面，∩，求证平面⊥平面解析⊥平面，⊂平面，⊥又，，，，，，，即⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面考点二求二面角例四边形是正方形，⊥平面，且求二面角平面角的度数求二面角平面角的度数求二面角平面角的度数分析证明面⊥面定义法确定二面角为所求角，可求解析⊥平面，⊥，又四边形为正方形，⊥，∩⊥平面，又⊂平面，平面⊥平面二面角平面角的度数为⊥平面，⊥，⊥为二面角的平面角又由题意，二面角平面角的度数为⊥平面，⊥，⊥为二面角的平面角又四边形为正方形，即二面角平面角的度数为点评求空间角，如二面角直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值变式探究如右图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上的点，且，求二面角的大小解析由已知⊥平面，⊂平面，⊥是的直径，且点在圆周上，⊥又∩，⊥平面而⊂平面，⊥又是二面角的棱，是二面角的平面角由知是等腰直角三角形，，即二面角的大小是考点三线面垂直面面垂直的综合应用例如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，些作二面角的平面角的方法技巧，如线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等变式探究银川高检测如图，在三棱锥中，⊥平面，点分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为求证平面⊥平面求二面角的平面角的正切值解析⊥平面，⊥，又，⊥，∩，⊥平面，又，是的中点，，⊥面，面⊥面⊥平面，⊥，⊥，从而为二面角的平面角，直线与直线所成的角为，过点作⊥于点，连结，则，在中，由勾股定理得在中，在中，，故二面角的平面角的正切值为新思维随堂自测已知为不重合的直线，为不重合的平面，则下列命题中正确的是⊥，⊂，⊥⇒⊥⊥，⊥⇒，⊥，⇒⊥⊥，∩，⊥⇒⊥解析，⊥⇒⊥，⇒⊥答案空间四边形中，若⊥，⊥，那么有平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面平面⊥平面解析⊥，⊥，∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面答案已知直二面角，点，⊥，为垂足，点，⊥，为垂足若则解析依题意得，⊥，⊥答案如图所示，三棱锥中，⊥平面，，二面角的大小等于解析⊥平面，⊥，⊥，是二面角的平面角又，则二面角的大小等于答案如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，⊥平面，为的中点求证平面⊥平面证明如图所示，连接，与交于点，连接因为为▱对角线与的交点，所以为的中点又为的中点，所以为的中位线，所以又⊥平面，所以⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面辨错解走出误区易错点忽视平面角定义中的垂直关系误判二面角的平面角典例如图，⊥平面，⊥求二面角的余弦值错解⊥平面，⊥为二面角的平面角在中，即二面角的余弦值为错因分析忽视平面角定义中的垂直关系而误认为为所求二面角的平面角正解⊥平面，⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥为二面角的平面角在中，又，在中，，所求二面角的余弦值为目标导航了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小掌握两个平面互相垂直的定义和画法重点理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题难点新知识预习探究知识点二面角概念平面内的条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面从条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面图示文字在二面角的棱上任取点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角图示符号⊂，⊂，∩，，⊥，⊥⇒是二面角的平面角范围平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角记法棱为，面分别为，的二面角记为如图所示，也可在，内棱以外的半平面部分分别取点将这个二面角记作二面角练习如图，正方体中，求二面角的平面角的大小解析在正方体中，⊥，⊥，∩，⊥平面又⊂平面，⊥，是二面角的平面角在中，⊥二面角的平面角的大小是知识点二平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作画法两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直如图所示直二面角⊥判定定理文字语言个平面过另个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言⊥，⊂⇒⊥作用判断两个平面垂直练习如图所示，已知中，，为所在平面外点，求证平面⊥平面证明如图所示，取的中点，连接，⊥又，又≌，⊥又∩，⊥平面⊂平面，平面⊥平面新视点名师博客作二面角的平面角的方法方法定义法在二面角的棱上找特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图，为二面角的平面角方法二垂面法过棱上点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图，为二面角的平面角方法三垂线法过二面角的个面内点作另个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角如图，为二面角的平面角常用的两个平面互相垂直的判定方法定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角判定定理，即个平面经过另个平面的条垂线，则这两个平面互相垂直两个平行平面中的个垂直于第三个平面，则另个也垂直于第三个平面新课堂互动探究考点平面与平面垂直关系的证明例如图，已知，，又，求证平面⊥平面分析可以根据定义法也可根据面面垂直的判定定理解析证法利用定义证明和是等边三角形，则有，令其值为，则和为共底边的等腰三角形设的中点，连接则⊥，⊥，为二面角的平面角在中，在中，在中，即二面角为直二面角，故平面⊥平面证法二利用判定定理，点在平面上的射影为的外心为直角三角形，在上的射影为斜边的中点⊥平面又平面过，平面⊥平面点评对平面与平面垂直的判定定理的认识平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进步转化为处理线线垂直问题证明平面与平面垂直的方法根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中个平为共底边的等腰三角形设的中点，连接则⊥，⊥，为二面角的平面角在中，在中，在中，即二面角为直二面角，故平面⊥平面证法二利用判定定理，点在平面上的射影为的外心为直角三角形，在上的射影为斜边的中点⊥平面又平面过，平面⊥平面点评对平面与平面垂直的判定定理的认识平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”因此，处理面面垂直问题