为底面半径台体台体，分别为上下底面面积，为高练习广东高考四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是在正方体中，已知棱长为，则三棱锥的体积是这个三棱锥的体积是正方体体积的解析四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为，棱台上下上下由正方体棱长为，得，高所以答案新视点名师博客多面体与旋转体表面积的计算方法多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，般不把多面体真正展开求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上下底面的半径柱体锥体台体体积之间的关系柱体锥体台体的关系如下根据以上关系，在台体的体积公式中，令，得柱体的体积公式令，得锥体的体积公式，面半径，圆锥的母线长，底面半径圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的底面积，组合体上底面积图，梯形中，，，，在平面内过旋转周后形成的几何体为圆柱中挖去个倒放的与圆柱等高的圆锥由上述计算知，圆柱母线长，底形铅锤的体积为，设水面下降的高度为，则小圆柱的体积为所以有，解此方程得故杯里的水下降了考点五求组合体的表面积与体积例如的体积比，常转化为锥体高的比的立方变式探究如图是个底面直径为的装有部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着个底面直径为，高为的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少解析因为圆锥表示有关元素，然后用这字母将两个几何体的体积表示出来作比正方体的内切球外接球以及与正方体各棱相切的球的体积比，关键是找出这三个球的半径与正方体棱长的关系棱锥棱台中平行底面的截面分几何体的各部分高为即设圆台的上底面积为，则，解得，锥点评相关的两个几何体的体积比，通常用同字母答案考点四求旋转体的体积例体积为的圆台，个底面面积是另个底面面积的倍，求截得这个圆台的圆锥的体积分析画出轴截面，找出圆锥与圆台高的关系解析如下图，设小圆锥的高为，圆台的之差求解变式探究如图所示，正方体的棱长为分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为解析面积和高，而求圆柱的体积则需确定底面半径和高求解锥体体积关键是明确锥体的底面是什么图形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点台体的体积计算既可以利用体积计算公式，也可以转化为两个锥体体积，体积比为∶∶点评若由三视图还原的几何体的直观图是由几部分组成的，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和求简单几何体体积的关键求柱体的体积，关键是确定底的高为则又台，台∶计算计算计算解析由三视图可知该几何体是个长方体和个半圆柱组成的几何体所以体积为答案设棱台中，∶∶，求三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积之比分析观察三视图，根据三视图确定几何体的构成，利用圆柱及长方体的体积公式求解∶∶塑料制品可制作个答最多可以做这种纸篓个考点三求多面体的体积例新课标全国卷Ⅰ几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为如图，三棱台现有制作这种纸篓的塑料制品，问最多可以做这种纸篓多少个解析圆台形纸篓两底面半径所以个这种纸篓的表面积为棱台的表面积计算常借助斜高侧棱及其在底面的射影与高底面边长等构成的直角三角形或梯形求解变式探究兰州高检测如图是个圆台形的纸篓有底无盖，它的母线长为，两底面直径分别为和该几何体的表面积为点评圆柱圆锥圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键棱锥及棱该几何体的表面积为点评圆柱圆锥圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高侧棱及其在底面的射影与高底面边长等构成的直角三角形或梯形求解变式探究兰州高检测如图是个圆台形的纸篓有底无盖，它的母线长为，两底面直径分别为和现有制作这种纸篓的塑料制品，问最多可以做这种纸篓多少个解析圆台形纸篓两底面半径所以个这种纸篓的表面积为塑料制品可制作个答最多可以做这种纸篓个考点三求多面体的体积例新课标全国卷Ⅰ几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为如图，三棱台中，∶∶，求三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积之比分析观察三视图，根据三视图确定几何体的构成，利用圆柱及长方体的体积公式求解∶∶∶计算计算计算解析由三视图可知该几何体是个长方体和个半圆柱组成的几何体所以体积为答案设棱台的高为则又台，台，体积比为∶∶点评若由三视图还原的几何体的直观图是由几部分组成的，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和求简单几何体体积的关键求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积则需确定底面半径和高求解锥体体积关键是明确锥体的底面是什么图形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点台体的体积计算既可以利用体积计算公式，也可以转化为两个锥体体积之差求解变式探究如图所示，正方体的棱长为分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为解析答案考点四求旋转体的体积例体积为的圆台，个底面面积是另个底面面积的倍，求截得这个圆台的圆锥的体积分析画出轴截面，找出圆锥与圆台高的关系解析如下图，设小圆锥的高为，圆台的高为即设圆台的上底面积为，则，解得，锥点评相关的两个几何体的体积比，通常用同字母表示有关元素，然后用这字母将两个几何体的体积表示出来作比正方体的内切球外接球以及与正方体各棱相切的球的体积比，关键是找出这三个球的半径与正方体棱长的关系棱锥棱台中平行底面的截面分几何体的各部分的体积比，常转化为锥体高的比的立方变式探究如图是个底面直径为的装有部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着个底面直径为，高为的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少解析因为圆锥形铅锤的体积为，设水面下降的高度为，则小圆柱的体积为所以有，解此方程得故杯里的水下降了考点五求组合体的表面积与体积例如图，梯形中，，，，在平面内过旋转周后形成的几何体为圆柱中挖去个倒放的与圆柱等高的圆锥由上述计算知，圆柱母线长，底面半径，圆锥的母线长，底面半径圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的底面积，组合体上底面积，旋转体的表面积又由题意知形成的几何体的体积为个圆柱的体积减去个圆锥的体积柱锥柱锥点评求组合体的表面积与体积的方法首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减在求组合体的表面积体积时要注意“表面和外界直接接触的面”与“体积几何体所占空间的大小”的定义，以确保不重复不遗漏变式探究牧民居住的蒙古包的形状是个圆柱与个圆锥的组合体，尺寸如图所示，请你算出要搭建这样的个蒙古包至少需要多少篷布精确到解析只需求出圆锥的侧面积与圆柱的侧面积，两者相加即可求解上部分圆锥的母线长为，则其侧面积下部分圆柱体的侧面积所以搭建这样的个蒙古包至少需要的篷布，即至少需要约的篷布答案新思维随堂自测若个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于解析由图可知，此三棱柱的底面是个边长为的正三角形，且此三棱柱的高为，则此三棱柱的侧面积为答案若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是解析由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积答案几何体的三视图如图所示，则它的体积是解析由几何体的三视图可知几何体为个组合体，即个正方体中间去掉个圆锥体，所以它的体积答案重庆高考几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为解析由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱底面积为，由三视图知，梯形的腰为，梯形的周长为，所以四棱柱的侧面积为表面积为答案几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是如图所示，直角梯形上底下底高分别为，将此直角梯形绕着垂直于底边的腰所在直线旋转周形成圆台则这圆台的表面积为解析由三视图，画出几何体的直观图易求得基本量，如图所示，其表面积过点作⊥于，则在中则圆台的表面积答案辨错解走出误区易错点缺乏分类讨论的思想典例把长宽分别为的矩形卷成个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积错解如图，设卷成的圆柱的底面半径为，母线长为，则根据题意有则，所以圆柱错因分析矩形被卷成圆柱时，可以是圆柱的高为，底面圆周长为也可以是圆柱的高为，底面圆周长为正解设圆柱的底面半径为，母线长为同错解，当，时，所以圆柱如图，当，时，所以圆柱综上所述，这个圆柱的体积为或目标导航通过对柱体锥体台体的研究，掌握柱体锥体台体的表面积与体积的求法重点会求组合体的表面积与体积难点易错点新知识预习探究知识点柱体锥体台体的表面积棱柱棱锥棱台的表面积棱柱棱锥棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积面积公式圆柱底面半径为，母线长为圆锥底面半径为，母线长为圆台上下底面半径分别为母线长为侧面展开图底面积底底底侧面积侧侧侧表面积表表表练习若个直立圆柱的侧视图是面积为的正方形，则该圆柱的表面积为解析设圆柱的底面半径为，母线长为，表答案知识点二柱体锥体台体的体积基本公式柱体柱体为底面面积，为高，圆柱为底面半径锥体锥体为底面面积，为高，圆锥为底面半径台体台体，分别为上下底面面积，为高练习广东高考四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是在正方体中，已知棱长为，则三棱锥的体积是这个三棱锥的体积是正方体体积的解析四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为，棱台上下上下由正方体棱长为，得，高所以答案新视点名师博客多面体与旋转体表面积的计算方法多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，般不把多面体真正展开求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上下底面的半径柱体锥体台体体积之间的关系柱体锥体台体的关系如下根据以上关系，在台体的体积公式中，令，得柱体的体积公式令，得锥体的体积公式，其关系如图新课堂互动探究考点求多面体的表面积例四棱锥的三视图如图所示，求该四棱锥的表面积分析由三视图可知，该几何体底面是边长为的正方形，正视图与侧视图为相同的等腰三角形可知几何体为正四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，故其四个侧面为全等的等腰三角形，其表面积为侧底两部分解析由三视图知原几何体是个底面边长为，高是的正四棱锥，如图又侧，底，表侧底点评求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量底面边长高斜高侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用变式探究个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为解析由三视图可知本题所给的是个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为答案例如图所示，已知直角梯形，，，求以所在直线