动点满足若点的轨迹为曲线，求此曲线的方程若点在直线上，直线经过点且与曲线只有个公共点，求的最小值解设点的坐标为则化简可得，此即为所求曲线是以点，为圆心，为半径的圆，如图所示由直线是此圆的切线，连接，则，当⊥时，取最小值，此时，则的最小值为名师点评本题在求最值时，利用了转化与化归及数形结合的思想，把用表示，由的最值确定的最值，体现了转化思想已知圆，圆分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为解析两圆的圆心均在第象限，先求的最小值，作点关于轴的对称点则，所以第讲圆的方程第八章平面解析几何圆的定义为圆上的动点求线段中点的轨迹方程若，求线段中点的轨迹方程解设的中点为由中点坐标公式可知，点坐标为，因为点在圆上则由直线与圆有交点，可得，的最大值为，最小值为考点三与圆有关的轨迹问题已知圆上定点，为圆内点，圆心，到直线的距离为则点到直线的最大距离为可知表示直线的斜率，设直线的方程为，即的最小值是规律方法与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型，可得，圆心的坐标为半径小值为表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值如图又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，以的最大值为，最小值为可看作是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得如图所以的最大值为，最，表示以，为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上点与原点连线的斜率，所以设，即当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时，解得如图所的最值考点二与圆有关的最值问题高频考点已知实数，满足方程求的最大值和最小值求的最大值和最小值求的最大值和最小值解原方程可化为呈现，试题难度不大，多为容易题中档题高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度求次或二次式的最值求圆上的点与圆外点距离的最值求圆上的点到直线距离的最值求三点确定的圆的方程为，也在此圆上，或舍去即的值为与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题填空题的形式的圆的标准方程是设过三点的圆的方程为，分别代入三点坐标，得，解得，即圆心的坐标是方程组的解，解得，所以圆心的坐标是，圆的半径长，所以，圆心为，标准方程为法二因为所以线段的中点的坐标为直线的斜率，因此线段的垂直平分线的方程是，则圆心坐标为，由题意可得，消去得，解得，代入求得，所以圆的方程为且圆心在直线上，求圆的标准方程若不同的四点共圆，求的值解法设圆的方程为的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择般式不论是哪种形式，都要确定三个参数，所以应该有三个等式已知圆心为的圆经过点要有两种方法几何法具体过程中要用到初中有关圆的些常用性质和定理如圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任意弦的中垂线上两圆相切时,切点与两圆心三点共线代数法根据条件设出圆的要有两种方法几何法具体过程中要用到初中有关圆的些常用性质和定理如圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任意弦的中垂线上两圆相切时,切点与两圆心三点共线代数法根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择般式不论是哪种形式，都要确定三个参数，所以应该有三个等式已知圆心为的圆经过点且圆心在直线上，求圆的标准方程若不同的四点共圆，求的值解法设圆的方程为，则圆心坐标为，由题意可得，消去得，解得，代入求得，所以圆的方程为，标准方程为法二因为所以线段的中点的坐标为直线的斜率，因此线段的垂直平分线的方程是，即圆心的坐标是方程组的解，解得，所以圆心的坐标是，圆的半径长，所以，圆心为的圆的标准方程是设过三点的圆的方程为，分别代入三点坐标，得，解得三点确定的圆的方程为，也在此圆上，或舍去即的值为与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题中档题高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度求次或二次式的最值求圆上的点与圆外点距离的最值求圆上的点到直线距离的最值求的最值考点二与圆有关的最值问题高频考点已知实数，满足方程求的最大值和最小值求的最大值和最小值求的最大值和最小值解原方程可化为，表示以，为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上点与原点连线的斜率，所以设，即当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时，解得如图所以的最大值为，最小值为可看作是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得如图所以的最大值为，最小值为表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值如图又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是规律方法与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型，可得，圆心的坐标为半径，圆心，到直线的距离为则点到直线的最大距离为可知表示直线的斜率，设直线的方程为，即，则由直线与圆有交点，可得，的最大值为，最小值为考点三与圆有关的轨迹问题已知圆上定点，为圆内点为圆上的动点求线段中点的轨迹方程若，求线段中点的轨迹方程解设的中点为由中点坐标公式可知，点坐标为，因为点在圆上，所以故线段中点的轨迹方程为设的中点为在中设为坐标原点，连接图略，则⊥，所以，所以故线段中点的轨迹方程为规律方法求与圆有关的轨迹方程时，根据题设条件的不同常采用以下方法直接法直接根据题目提供的条件列方程定义法根据圆直线等定义列方程几何法利用圆的几何性质列方程代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等已知在中，求直角顶点的轨迹方程解法依题意，顶点的轨迹是以为直径的圆，且去掉端点圆心坐标为半径为，故直角顶点的轨迹方程为法二设顶点的坐标为由于⊥，故即直角顶点的轨迹方程为方法思想转化与化归思想求与圆有关的最值河北唐山中调研已知点动点满足若点的轨迹为曲线，求此曲线的方程若点在直线上，直线经过点且与曲线只有个公共点，求的最小值解设点的坐标为则化简可得，此即为所求曲线是以点，为圆心，为半径的圆，如图所示由直线是此圆的切线，连接，则，当⊥时，取最小值，此时，则的最小值为名师点评本题在求最值时，利用了转化与化归及数形结合的思想，把用表示，由的最值确定的最值，体现了转化思想已知圆，圆分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为解析两圆的圆心均在第象限，先求的最小值，作点关于轴的对称点则，所以第讲圆的方程第八章平面解析几何圆的定义及方程定义平面内与的距离等于的点的集合轨迹标准方程圆心，半径般方程圆心，半径定点定长点与圆的位置关系点，与圆的位置关系若，在圆外，则若，在圆上，则若，在圆内，则做做圆心在轴上，半径为，且过点，的圆的方程为点，在圆内，则实数的取值范围是，，，解析点，在圆的内部，辨明两个易误点解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算对于方程表示圆时易忽视这条件待定系数法求圆的方程若已知条件与圆心，和半径有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的般方程，依据已知条件列出关于的方程组，进而求出的值做做方程表示圆的充要条件的是解析由，得圆心在轴上且经过点，的圆与轴相切，则该圆的方程是解析设圆心为半径为，则，圆的方程为点，在圆上解得圆的方程为考点求圆的方程考点二与圆有关的最值问题高频考点考点三与圆有关的轨迹问题考点求圆的方程根据下列条件，求圆的方程经过两点，并且在轴上截得的弦长等于圆心在直线上，且与直线相切于点，解设圆的方程为，将点的坐标分别代入得，又令，得设，是方程的两根，由，有，由解得或故所求圆的方程为或设所求方程为，根据已知条件得，解得因此所求圆的方程为规律方法求圆的方程，主要有两种方法几何法具体过程中要用到初中有关圆的些常用性质和定理如圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任意弦的中垂线上两圆相切时,切点与两圆心三点共线代数法根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择般式不论是哪种形式，都要确定三个参数，所以应该有三个等式已知圆心为的圆经过点且圆心在直线上，求圆的标准方程若不同的四点共圆，求的值解法设圆的方程为，则圆心坐标为，由题意可得，消去得，解得，代入求得，所以圆的方程为，标准方程为法二因为所以线段的中点的坐标为直线的斜率，因此线段的垂直平分线的方程是要有两种方法几何法具体过程中要用到初中有关圆的些常用性质和定理如圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任意弦的中垂线上两圆相切时,切点与两圆心三点共线代数法根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择般式不论是哪种形式，都要确定三个参数，所以应该有三个等式已知圆心为的圆经过点且圆心在直线上，求圆的标准方程若不同的四点共圆，求的值解法设圆的方程为，则圆心坐标为，由题意可得，消去得，解得，代入求得，所以圆的方程为，标准方程为法二因为所以线段的中点的坐标为直线的斜率，因此线段的垂直平分线的方程是，即圆心的坐标是方程组的解，解得，所以圆心的坐标是，圆的半径长，所以，圆心为的圆的标准方程是设过三点的圆的方程为，分别代入三点坐标，得，解得三点确定的圆的方程为，也在此圆上，或舍去即的值为与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题中档题高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度求次或二次式的最值求圆上的点与圆外点距离的最值求圆上的点到直线距离的最值求的最值考点二与圆有关的最值问题高频考点已知实数，满足方程求的最大值和最小值求的最大值和最小值求的最大值和最小值解原方程可化为，表示以，为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上点与原点连线的斜率，所以设，即当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，此时，解得如图所以的最大值为，最小值为可看作是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得如图所以的最大值为，最小值为表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值如图又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是规律方法与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量般地，与圆心和半径有关，选择标准