拨规范解答温馨提醒又，分又三点共线，与共线存在实数，使得，思维点拨规范解答温馨提醒即，，消去得，由得分思维点拨规范解答温馨提醒本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有定的难度易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解数形结合思想是向量加法减法运算的核心，向量是个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视三点共线和三点共线这个几何特征方程思想是解决本题的关键，要注意体会思维点拨规范解答温馨提醒方法与技巧向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则若，为实数，则的值为解析由题意，得江苏设，分别是所以江苏设，分别是的边，上的点运用法则找关系化简结果解析答案思维升华跟踪训练在▱中为的中点，则用，表示解析由得中，若点满足，则用，表示用几个基本向量表示个向量问题的基本技巧观察各向量的位置寻找相应的三角形或多边形若点满足，则用，表示解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化解析答案思维升华例在，例在中，若点满足，则用，表示解析答案思维升华例在中，解析答案思维升华，则用，表示，例在中，若点满足，则用，表示，的延长线与交于点，若则用，表示解析答案思维升华解析答案思维升华例在中，若点满足量表示个向量问题的基本技巧观察各向量的位置寻找相应的三角形或多边形运用法则找关系化简结果题型二平面向量的线性运算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示解析答案思维升华用几个基本向则用，表示解析答案思维升华解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化题型二平面向量的线性运算例在解析答案思维升华题型二平面向量的线性运算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若题型二平面向量的线性运算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示解析答案思维升华延长线与交于点，若则用，表示如图由题意知，∶∶∶题型二平面向量的线性运正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小向量的模均为实数，可以比较大小答案题型二平面向量的线性运算解析答案思维升华例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小向量的模均为实数，可以比较大小答案题型二平面向量的线性运算解析答案思维升华例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示如图由题意知，∶∶∶题型二平面向量的线性运算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示解析答案思维升华题型二平面向量的线性运算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示解析答案思维升华题型二平面向量的线性运算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示解析答案思维升华解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化题型二平面向量的线性运算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示解析答案思维升华用几个基本向量表示个向量问题的基本技巧观察各向量的位置寻找相应的三角形或多边形运用法则找关系化简结果题型二平面向量的线性运算例在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若则用，表示解析答案思维升华解析答案思维升华例在中，若点满足，则用，表示，例在中，若点满足，则用，表示解析答案思维升华，例在中，若点满足，则用，表示解析答案思维升华例在中，若点满足，则用，表示解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化解析答案思维升华例在中，若点满足，则用，表示用几个基本向量表示个向量问题的基本技巧观察各向量的位置寻找相应的三角形或多边形运用法则找关系化简结果解析答案思维升华跟踪训练在▱中为的中点，则用，表示解析由得所以江苏设，分别是的边，上的点若，为实数，则的值为解析由题意，得江苏设，分别是的边，上的点若，为实数，则的值为，则即题型三共线定理的应用解析思维升华例设两个非零向量与不共线，若，求证三点共线题型三共线定理的应用例设两个非零向量与不共线，若，求证三点共线证明，解析思维升华题型三共线定理的应用例设两个非零向量与不共线，若，求证三点共线共线，又它们有公共点，三点共线解析思维升华证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线题型三共线定理的应用例设两个非零向量与不共线，若，求证三点共线解析思维升华向量共线是指存在不全为零的实数使成立，若，当且仅当时成立，则向量不共线题型三共线定理的应用例设两个非零向量与不共线，若，求证三点共线解析思维升华例试确定实数，使和共线解析思维升华例试确定实数，使和共线解和共线，存在实数，使，即答案已知平面上不共线的四点若，则解析⇒⇒，所以思想与方法系列方程思想在平面向量的线性运算中的应用思维点拨规范解答温馨提醒典例分如图所示，在中，与相交于点，设，试用和表示向量用已知向量来表示另外些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去既然能用表示，那我们不妨设出利用向量共线建立方程，用方程的思想求解思维点拨规范解答温馨提醒分解设，则又三点共线，与共线存在实数，使得，思维点拨规范解答温馨提醒分即消去得即分思维点拨规范解答温馨提醒又，分又三点共线，与共线存在实数，使得，思维点拨规范解答温馨提醒即，，消去得，由得分思维点拨规范解答温馨提醒本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有定的难度易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解数形结合思想是向量加法减法运算的核心，向量是个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视三点共线和三点共线这个几何特征方程思想是解决本题的关键，要注意体会思维点拨规范解答温馨提醒方法与技巧向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”平行四边形法则要素是“起点重合”方法与技巧证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线对于三点共线有以下结论对于平面上的任点不共线，满足，，则共线⇔失误与防范解决向量的概念问题要注意两点是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误下列说法正确的个数是温度速度位移功这些物理量都是向量零向量没有方向向量的模定是正数非零向量的单位向量是唯的解析错误，只有速度和位移是向量错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的错误显然错误答案已知向量则解析设，不共线若三点共线，则实数的值是解析又三点共线共线设，答案已知点为外接圆的圆心，且，则的内角解析由，知点为的重心，又为外接圆的圆心，为等边三角形，在中，，为边上的高，为的中点，若，则解析即故下列命题如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之方向相同三角形中，必有若，则为三角形的三个顶点若，均为非零向量，则与定相等其中假命题的序号为解析若与长度相等，方向相反，则三点可能在条直线上答案设是内部点，且，则与的面积之比为解析设为的中点，连结，则又，所以，即为的中点，从而容易得与的面积之比为∶答案∶在中，已知是边上点，若则解析由图知且得答案已知向量其中不共线，向量问是否存在这样的实数，使向量与共线解，要使与共线，则应有实数，使，即，即得故存在这样的实数，只要，就能使与共线如图所示，在中，分别是的中点，用表示向量连结得到▱，解延长到，使，所以求证三点共线证明由可知，又因为，有公共点，所以三点共线已知点不在同条直线上，点为该平面上点，且，则下列结论正确的是点在线段上点在线段的反向延长线上点在线段的延长线上点不在直线上解析因为，所以，所以点在线段的反向延长线上答案如图，经过的重心的直线与，分别交于点设，，则的值为解析设由题意知，由三点共线得，存在实数，使得，即，从而消去得答案是平面上定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，，则的轨迹定通过的心填“外”“内”“重”“垂”解析作的平分线，，，的轨迹定通过的内心答案内如图所示，在中，点是的中点过点的直线分别交直线于不同的两点，若则的值为解析是的中点，又三点共线，则答案已知是不共线的三点，且，若，求证三点共线证明若，则即，与共线又与有公共点，则三点共线若三点共线，求证证明若三点共线，则存在实数，使，又故有，即不共线不共线，平面向量的概念及线性运算第五章平面向量数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量向量的大小叫做向量的或称为平面向量是自由向量零向量长度为的向量其方向是任意的记作单位向量长度等于长度的向量大小方向长度模个单位平行向量方向或的非零向量与任向量或共线共线向量的非零向量又称为共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为相同相反方向相同或相反相等相同相等相反平行向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算交换律结合律三角形平行四边形减法求与的相反向量的和的运算叫做与的差法则三角形数乘求实数与向量的积的运算当时，的方向与的方向当时，的方向与的方向当时当时，相同相反向量共线定理如果有个实数，使，那么与是共线向量反之，如果与是共线向量，那么有且只有个实数，使思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”向量与有向线段是样的，因此可以用有向线段来表示向量与是