点考点考点考点知识方法易错易混考点求圆的方程例已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为答案解析方法设出圆心坐,代入已知点满足的关系式等求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应有不同若求轨迹方程,把方程求出化简即可若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线核心考点考点考点考点知轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法直接法,直接根据题目提供的条件列出方程定义法,根据圆直线等定义列方程几何法,利用圆的几何性质列方程代入法,找到要求点与已知点的关系以设则,化简,得,所以所求轨迹方程为核心考点考点考点考点知识方法易错易混解题心得求与圆有关的求动点的轨迹方程答案答案关闭解以的中点为原点,所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,由已知,得因为两圆的半径长均为,所点考点考点知识方法易错易混考点与圆有关的轨迹问题例如图所示,圆和圆的半径长都等于,过动点分别作圆,圆的切线为切点,使得试建立平面直角坐标系,并轴的交点为,故可设圆的圆心坐标为则有,解得,则圆的半径为𝑡,所以圆的方程为答案解析关闭核心考点考,或核心考点考点考点考点知识方法易错易混在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆上,则圆的方程为答案解析解析关闭曲线与坐标为,将,两点的坐标分别代入得𝐷𝐸𝐹,𝐷𝐸𝐹又令,得设,是方程的两根,由有,由解得再验证选项,中圆心到两直线的距离是否等于半径即可核心考点考点考点考点知识方法易错易混经过点,两点,并且在轴上截得的弦长等于的圆的方程为答案解析解析关闭设圆的方程的交点坐标是与直线的交点坐标是故所求圆的圆心坐标是所求圆的方程是方法三作为选择题也可以验证解答圆心在上,排除选项核心考点考点考点考点知识方法易错易混方法二题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离圆心是直线被这两条平行线所截线段的中点,直线与直线心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为则𝑎𝑎𝑎𝑎,即,解得,故圆心坐标为半径,故圆的方程为圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为答案解析方法设出圆心和半径两个核心要素配方法在圆的般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握求轨迹方程时,定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点求圆的方程例已知构成三角形,因此点不能为,和,所以点的轨迹方程为除去点,和,答案解析关闭除去点,和,双击自测自测点评求圆的标准方程,定要抓住圆的圆底边的个端点的坐标为则另个端点的轨迹方程为答案解析解析关闭设根据在等腰三角形中,可得,即考虑到三点要即𝑎𝑎,解得,圆心为半径,圆的方程为答案解析关闭双击自测已知等腰三角形,其中顶点的坐标为底即𝑎𝑎,解得,圆心为半径,圆的方程为答案解析关闭双击自测已知等腰三角形,其中顶点的坐标为底边的个端点的坐标为则另个端点的轨迹方程为答案解析解析关闭设根据在等腰三角形中,可得,即考虑到三点要构成三角形,因此点不能为,和,所以点的轨迹方程为除去点,和,答案解析关闭除去点,和,双击自测自测点评求圆的标准方程,定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素配方法在圆的般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握求轨迹方程时,定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点求圆的方程例已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为答案解析方法设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为则𝑎𝑎𝑎𝑎,即,解得,故圆心坐标为半径,故圆的方程为核心考点考点考点考点知识方法易错易混方法二题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离圆心是直线被这两条平行线所截线段的中点,直线与直线的交点坐标是与直线的交点坐标是故所求圆的圆心坐标是所求圆的方程是方法三作为选择题也可以验证解答圆心在上,排除选项再验证选项,中圆心到两直线的距离是否等于半径即可核心考点考点考点考点知识方法易错易混经过点,两点,并且在轴上截得的弦长等于的圆的方程为答案解析解析关闭设圆的方程为,将,两点的坐标分别代入得𝐷𝐸𝐹,𝐷𝐸𝐹又令,得设,是方程的两根,由有,由解得,或核心考点考点考点考点知识方法易错易混在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆上,则圆的方程为答案解析解析关闭曲线与坐标轴的交点为,故可设圆的圆心坐标为则有,解得,则圆的半径为𝑡,所以圆的方程为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与圆有关的轨迹问题例如图所示,圆和圆的半径长都等于,过动点分别作圆,圆的切线为切点,使得试建立平面直角坐标系,并求动点的轨迹方程答案答案关闭解以的中点为原点,所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,由已知,得因为两圆的半径长均为,所以设则,化简,得,所以所求轨迹方程为核心考点考点考点考点知识方法易错易混解题心得求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法直接法,直接根据题目提供的条件列出方程定义法,根据圆直线等定义列方程几何法,利用圆的几何性质列方程代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应有不同若求轨迹方程,把方程求出化简即可若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知圆上定点,为圆内点为圆上的动点求线段中点的轨迹方程若,求线段中点的轨迹方程答案答案关闭解设的中点为由中点坐标公式可知,点坐标为,因为点在圆上,所以,即故线段中点的轨迹方程为设的中点为,在中,设为坐标原点,连接,则⊥,所以,所以故线段中点的轨迹方程为核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与圆有关的最值问题多维探究类型斜率型最值问题例已知实数,满足方程,求的最大值和最小值𝑦𝑥答案答案关闭解原方程可化为,表示以,为圆心,为半径的圆𝑦𝑥的几何意义是圆上点与原点连线的斜率,所以设𝑦𝑥,即如图所示,当直线与圆相切时,斜率取最大值或最小值,此时𝑘𝑘,解得所以𝑦𝑥的最大值为,最小值为核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型二截距型最值问题例在例条件下求的最大值和最小值答案答案关闭可看作是直线在轴上的截距,如图所示,当直线与圆相切时,纵截距取得最大值或最小值,此时𝑏,解得所以的最大值为,最小值为核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型三距离型最值问题例在例条件下求的最大值和最小值答案答案关闭如图所示,表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为,所以的最大值是,的最小值是圆与圆的方程考纲要求考纲要求掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与般方程知识梳理圆的几何特征和圆的方程几何特征圆上任点到圆心的距离等于定长,这个定长就是半径圆的标准方程圆心为半径是的圆的标准方程圆心在坐标原点时的圆的方程为圆的般方程当时,表示圆心为𝐷半径长为𝐷𝐸𝐹的圆当时,表示个点𝐷当时,它不表示任何图形知识梳理点与圆的位置关系平面上的点,与圆之间存在着下列关系⇔在圆外,即⇔在圆外⇔在圆上,即⇔在圆上⇔在圆内,即⇔在圆内双击自测下列结论正确的打,错误的打“”已知圆的方程为,过点,作该圆的切线只有条方程表示圆心为半径为的个圆方程表示圆心为,半径为的圆已知点则以为直径的圆的方程是方程表示圆的充要条件是𝑎双击自测北京,文圆心为,且过原点的圆的方程是答案解析解析关闭由题意可得圆的半径为,则圆的标准方程为答案解析关闭双击自测点,在圆上,且点,关于直线对称,则该圆的半径为答案解析解析关闭圆的方程可化为𝑥𝑘𝑘点,关于直线对称,圆心𝑘,在直线上,则该圆的半径为故选答案解析关闭双击自测圆的圆心在轴上,并且过点,和则圆的方程为答案解析解析关闭设圆心坐标为点,和,在圆上即𝑎𝑎,解得,圆心为半径,圆的方程为答案解析关闭双击自测已知等腰三角形,其中顶点的坐标为底边的个端点的坐标为则另个端点的轨迹方程为答案解析解析关闭设根据在等腰三角形中,可得,即考虑到三点要构成三角形,因此点不能为,和,所以点的轨迹方程为除去点,和,答案解析关闭除去点,和,双击自测自测点评求圆的标准方程,定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素配方法在圆的般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握求轨迹方程时,定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点求圆的方程例已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为答案解析方法设出圆心坐底边的个端点的坐标为则另个端点的轨迹方程为答案解析解析关闭设根据在等腰三角形中,可得,即考虑到三点要心和半径两个核心要素配方法在圆的般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握求轨迹方程时,定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点求圆的方程例已知心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为则𝑎𝑎𝑎𝑎,即,解得,故圆心坐标为半径,故圆的方程为的交点坐标是与直线的交点坐标是故所求圆的圆心坐标是所求圆的方程是方法三作为选择题也可以验证解答圆心在上,排除选项为,将,两点的坐标分别代入得𝐷𝐸𝐹,𝐷𝐸𝐹又令,得设,是方程的两根,由有,由解得轴的交点为,故可设圆的圆心坐标为则有,解得,则圆的半径为𝑡,所以圆的方程为答案解析关闭核心考点考求动点的轨迹方程答案答案关闭解以的中点为原点,所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,由已知,得因为两圆的半径长均为,所轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法直接法,直接根据题目提供的条件列出方程定义法,根据圆直线等定义列方程几何法,利用圆的几何性质列方程代入法,找到要求点与已知点的关系点考点考点考点知识方法易错易混考点求圆的方程例已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为答案解析方法设出圆心坐