上是减函数先作出函数图象，由于绝对值作用，把轴下方部分翻折到上方，可得函数图象如图所示由图可知，函数增区间为，，减区间为,规律方法求函数单调区间两种常用方法图象法如果是以图象形式给出，或者图象易作出，可由图象直观性写出它单调区间导数法利用导数正负确定函数单调区间对点训练设函数在，内有定义对于给定正数，定义函数，取函数，当时，函数单调递增区间为答案考向三函数单调性应用函数在区间，上最大值是，最小值为，则若为上增函数，则满足实数取值范围是已知，，是上单调递增函数，则实数取值范围为，,答案，，规律方法本例在求解中，常因忽略考虑“在，上最大值小于等于在，上最小值”致误含号不等式解法首先根据函数性质把不等式转化为形式，然后根据函数单调性去掉号，转化为具体不等式组，此时要注意与取值应在外层函数定义域内对点训练已知函数满足对任意实数都有成立，则实数取值范围为，，，，已知函数构造函数定义如下当时当时则有最小值，无最大值有最小值，无最大值有最大值，无最小值无最大值，也无最小值答案规范解答之解不等式巧用函数单调性解函数不等式问题般步骤第步确定函数在给定区间上单调性第二步将函数不等式转化为形式第三步运用函数单调性“去掉”函数抽象符号，转化成般不等式或不等式组第四步解不等式或不等式组确定解集第五步反思回顾，查看关键点易错点及解题规范个示范例分函数对任意，都有，并且时，恒有求证在上是增函数若，解不等式规范解答设，当时分，分⇒，在上为增函数分，，不妨设，⇒，分⇒⇒⇒，分在上为增函数，⇒，即,分名师寄语抽象函数单调性证明只能用定义，在证明时应根据所给等式特点对或进行适当变形，如或等求解含不等式，应先将不等式转化为形式，然后再根据函数单调性去掉，此时应注意应在定义域内取值个规范练“定义域优先”原则单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结三函数最值前提设函数定义域为，如果存在实数满足条件对于任意，都有存在，使得对于任意，都有存在，使得结论是最大值是最小值函数最值存在两条定论闭区间上连续函数定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值定在端点取到开区间上“单峰”函数定存在最大小值如果二次函数在区间，上是减函数，则答案下列函数中，在区间,上是增函数是答案函数在上是减函数，则取值范围是答案，,单调增区间为，答案,重庆高考最大值为答案北京高考下列函数中，定义域是且为增函数是答案考向函数单调性判定判断函数在，上单调性尝试解答方法定义法设，是任意两个正数，且，则当时又，所以，即，所以函数在，上是减函数当时又，所以，即，所以函数在，上是增函数方法二导数法，由得，即，解得由得，即，解得所以在，上为减函数，在，上为增函数规律方法对于给出具体解析式函数，证明其在区间上单调性有两种方法结合定义基本步骤为取值作差或作商变形判断证明可导函数则可以利用导数证明考向二图象法求函数单调区间求下列函数单调区间，并确定每区间上单调性尝试解答依题意，可得当时当时，由二次函数图象知，函数在,上是增函数，在，上是减函数先作出函数图象，由于绝对值作用，把轴下方部分翻折到上方，可得函数图象如图所示由图可知，函数增区间为，，减区间为,规律方法求函数单调区间两种常用方法图象法如果是以图象形式给出，或者图象易作出，可由图象直观性写出它单调区间导数法利用导数正负确定函数单调区间对点训练设函数在，内有定义对于给定正数，定义函数，取函数，当时，函数单调递增区间为答案考向三函数单调性应用函数在区间，上最大值是，最小值为，则若为上增函数，则满足实数取值范围是已知，，是上单调递增函数，则实数取值范围为，,答案，，规律方法本例在求解中，常因忽略考虑“在，上最大值小于等于在，上最小值”致误含号不等式解法首先根据函数性质把不等式转化为形式，然后根据函数单调性去掉号，转化为具体不等式组，此时要注意与取值应在外层函数定义域内对点训练已知函数满足对任意实数都有成立，则实数取值范围为，，，，已知函数构造函数定义如下当时当时则有最小值，无最大值有最小值，无最大值有最大值，无最小值无最大值，也无最小值答案规范解答之解不等式巧用函数单调性解函数不等式问题般步骤第步确定函数在给定区间上单调性第二步将函数不等式转化为形式第三步运用函数单调性“去掉”函数抽象符号，转化成般不等式或不等式组第四步解不等式或不等式组确定解集第五步反思回顾，查看关键点易错点及解题规范个示范例分函数对任意，都有，并且时，恒有求证在上是增函数若，解不等式规范解答设，当时分，分⇒，在上为增函数分，，不妨设，⇒，分⇒⇒⇒，分在上为增函数，⇒，即,分名师寄语抽象函数单调性证明只能用定义，在证明时应根据所给等式特点对或进行适当变形，如或等求解含不等式，应先将不等式转化为形式，然后再根据函数单调性去掉，此时应注意应在定义域内取值个规范练已知是定义在，上增函数，且解不等式解，，在以上等式中取则有，可变形为又是定义在，上增函数，，解得原不等式解集为第二节函数单调性与最值考情展望考查函数单调性及最值基本求法利用函数单调性求单调区间利用函数单调性求最值和参数取值范围函数单调性和其他知识相结合考查求函数最值比较大小解不等式等相关问题增函数减函数般地，设函数定义域为，区间⊆，如果对于任意，，且，则都有在区间上是增函数⇔在区间上是减函数⇔设任意，，且，那么⇔在，上是增函数⇔在，上是减函数二单调性单调区间定义若函数在区间上是或，则称函数在这区间上具有严格单调性，区间叫做单调增函数减函数区间求函数单调区间两个注意点单调区间是定义域子集，故求单调区间应树立“定义域优先”原则单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结三函数最值前提设函数定义域为，如果存在实数满足条件对于任意，都有存在，使得对于任意，都有存在，使得结论是最大值是最小值函数最值存在两条定论闭区间上连续函数定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值定在端点取到开区间上“单峰”函数定存在最大小值如果二次函数在区间，上是减函数，则答案下列函数中，在区间,上是增函数是答案函数在上是减函数，则取值范围是答案，,单调增区间为，答案,重庆高考最大值为答案北京高考下列函数中，定义域是且为增函数是答案考向函数单调性判定判断函数在，上单调性尝试解答方法定义法设，是任意两个正数，且，则当时又，所以，即，所以函数在，上是减函数当时又，所以，即，所以函数在，上是增函数方法二导数法，由得，即，解得由得，即，解得所以在，上为减函数，在，上为增函数规律方法对于给出具体解析式函数，证明其在区间上单调性有两种方法结合定义基本步骤为取值作差或作商变形判断证明可导函数则可以利用导数证明考向二图象法求函数单调区间求下列函数单调区间，并确定每区间上单调性尝试解答依题意，可得当时当时，由二次函数图象知，函数在,上是增函数，在，上是减函数先作出函数图象，由于绝对值作用，把轴下方部分翻折到上方，可得函数图象如图所示由图可知，函数增区间为，，减区间为,规律方法求函数单调区间两种常用方法图象法如果是以图象形式给出，或者图象易作出，可由图象直观性写出它单调区间导数法利用导数正负确定函数单调区间对点训练设函数在，内有定义对于给定正数，定义函数，取函数，当时，函数单调递增区间为答案考向三函数单调性应用函数在区间，上最大值是，最小值为，则若为上增函数，则满足实数取值范围是已知，，是上单调递增函数，则实数取值范围为，,答案，，规律方法本例在求解中，常因忽略考虑“在，上最大值小于等于在，上最小值”致误含号不等式解法首先根据函数性质把不等式转化为形式，然后根据函数单调性去掉号，转化为具体不等式组，此时要注意与取值应在外层函数定义域内对点训练已知函数满足对任意实数都上是减函数先作出函数图象，由于绝对值作用，把轴下方部分翻折到上方，可得函数图象如图所示由图可知，函数增区间为，，减区间为,规律方法求函数单调区间两种常用方法图象法如果是以图象形式给出，或者图象易作出，可由图象直观性写出它单调区间导数法利用导数正负确定函数单调区间对点训练设函数在，内有定义对于给定正数，定义函数，取函数，当时，函数单调递增区间为答案考向三函数单调性应用函数在区间，上最大值是，最小值为，则若为上增函数，则满足实数取值范围是已知，，是上单调递增函数，则实数取值范围为，,答案，，规律方法本例在求解中，常因忽略考虑“在，上最大值小于等于在，上最小值”致误含号不等式解法首先根据函数性质把不等式转化为形式，然后根据函数单调性去掉号，转化为具体不等式组，此时要注意与取值应在外层函数定义域内对点训练已知函数满足对任意实数都有成立，则实数取值范围为，，，，已知函数构造函数定义如下当时当时则有最小值，无最大值有最小值，无最大值有最大值，无最小值无最大值，也无最小值答案规范解答之解不等式巧用函数单调性解函数不等式问题般步骤第步确定函数在给定区间上单调性第二步将函数不等式转化为形式第三步运用函数单调性“去掉”函数抽象符号，转化成般不等式或不等式组第四步解不等式或不等式组确定解集第五步反思回顾，查看关键点易错点及解题规范个示范例分函数对任意，都有，并且时，恒有求证在上是增函数若，解不等式规范解答设，当时分，分⇒，在上为增函数分，，不妨设，⇒，分⇒⇒⇒，分在上为增函数，⇒，即,分名师寄语抽象函数单调性证明只能用定义，在证明时应根据所给等式特点对或进行适当变形，如或等求解含不等式，应先将不等式转化为形式，然后再根据函数单调性去掉，此时应注意应在定义域内取值个规范练