直线与有两个公共点,与有个公共点,故此时直线与轨迹恰好有三个公共点综合可知,当, 时,直线与轨迹恰好有个公共点当  时,直线与轨迹恰好有两个公共点当 时,直线与轨迹恰好有三个公共点,,,求动点轨迹时应注意它完备性与纯粹性化简过程可能破坏了方程同解性,因此要注意补上遗漏点或挖去多余点“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同概念,前者要指出曲线形状位置大小等特征,后者指方程包括范围已知抛物线,为顶点,为抛物线上两动点,且满足⊥,如果⊥于点,求点轨迹方程解析设点坐标为直线方程为,显然,则直线方程为 由 解得点坐标为 ,类似地可得点坐标为从而知当时,  故得直线方程为 ,即 , 易知直线方程为  ,,可知点坐标同时满足由及消去得,即 当时,容易验证点坐标仍适合方程故点轨迹方程为典例陕西分已知动圆过定点且在轴上截得弦长为求动圆圆心轨迹方程已知点设不垂直于轴直线与轨迹交于不同两点若轴是角平分线,证明直线过定点解析如图,设动圆圆心为由题意,知,当不在轴上时,过作⊥交于,则是中点,圆锥曲线中定点定值问题 ,又 ,  ,化简得又当在轴上时,与重合,点坐标,也满足方程,动圆圆心轨迹方程为由题意,设直线方程为,将代入中,得其中由根与系数关系得, ,  , 因为轴是角平分线,所以  ,即, 将,代入得此时,直线方程为,即直线过定点,在解析几何中,有些几何量如斜率距离面积比值等和变量无关,这类问题统称为定值问题定点定值问题解法同证明题类似解答这类问题要大胆设参,运算推理到最后参数必消,定点定值显露山东分椭圆  左右焦点分别是,离心率为 ,过且垂直于轴直线被椭圆截得线段长为求椭圆方程点是椭圆上除长轴端点外任点,连结,设角平分线交长轴于点求取值范围在条件下,过点作斜率为直线,使得与椭圆有且只有个公共点设直线,斜率分别为,若,试证明  为定值,并求出这个定值 解析由于,将代入椭圆方程  ,得 ,由题意知 ,即又  ,所以,所以椭圆方程为 解法设,又  所以直线,方程分别为  ,  由题意知  由于点在椭圆上,所以  所以  因为  所以  所以 因此  解法二设,当时,当 时,直线斜率不存在,易知 或 若 ,则直线方程为  ,,由题意得  ,因为  ,所以 若 ,同理可得 当 时,设直线,方程分别为 , 由题意知  ,所以  因为  ,并且若,试证明  为定值,并求出这个定值 解析由于,将代入椭圆方程  ,得 ,由题意知 ,即又  ,所以,所以椭圆方程为 解法设,又  所以直线,方程分别为  ,  由题意知  由于点在椭圆上,所以  所以  因为  所以  所以 因此  解法二设,当时,当 时,直线斜率不存在,易知 或 若 ,则直线方程为  ,,由题意得  ,因为  ,所以 若 ,同理可得 当 时,设直线,方程分别为 , 由题意知  ,所以  因为  ,并且 , ,,所以    ,即    因为  且 ,所以  整理得 ,故 且 综合可得 当时,同理可得 综上所述,取值范围是 设,,则直线方程为联立 整理得  由题意知,即  又  ,所以  故 由知     ,所以      ,因此  为定值,这个定值为典例课标全国Ⅱ分平面直角坐标系中,过椭圆  右焦点直线 交于,两点,为中点,且斜率为 求方程,为上两点,若四边形对角线⊥,求四边形面积最大值解析设则 ,  , ,圆锥曲线中最值参数范围问题由此可得  因为  ,所以又由题意知,右焦点为 故因此,所以方程为  由 解得 或 因此 ,,,由题意可设直线方程为 ,设,由 得于是, 因为直线斜率为,所以   由已知,四边形面积   ,当时,取得最大值,最大值为 所以四边形面积最大值为 最值问题求解方法建立函数模型,利用二次函数三角函数有界性求最值或利用导数法求最值建立不等式模型,利用基本不等式求最值数形结合,利用相切相交几何性质求最值求参数范围常用方法函数法用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域方法求解不等式法根据题意建立含参数不等式,通过解不等式求参数范围判别式法建立关于变量元二次方程,利用判别式求参数范围数形结合法研究该参数所表示几何意义,利用数形结合思想求解河北保定模,如图,曲线与曲线相交于四点求取值范围求四边形面积最大值及面积最大时对角线与交点坐标 解析设其中联立曲线,方程,消去可得,即,根据条件可得解得  分四边形       分令 ,则四边形    , 分设则,可得当,时,最大值为,从而四边形最大值为令 ,得 分联立曲线,方程,消去并整理得,解得 , ,所以点坐标为 , ,点坐标为 , , ,则直线方程为   , 分当时又由对称性可知与交点在轴上,对角线与交点坐标为, 分课标版理数直线圆锥曲线综合问题判断直线与圆锥曲线位置关系时,通常将直线方程不同时为代入圆锥曲线方程消去也可以消去得到个关于变量或变量方程对于 消去后得到知识梳理若,则当时,直线与曲线相交当时,直线与曲线相切当时,直线与曲线相离若,即得到个次方程,则与相交,且只有个交点,此时,若为双曲线,则直线与双曲线渐近线平行若为抛物线,则直线与抛物线对称轴平行连结圆锥曲线上两个点线段称为圆锥曲线弦若直线曲线与有两个不同交点则是方程组 两组解方程组消元后可化,为关于元二次方程,判别式,应有,所以是方程解由根与系数关系韦达定理求出 , ,所以两点间距离为 ,即弦长公式也可以写成关于形式,即 已知弦中点,研究斜率和方程是椭圆  条弦,中点坐标为,,则斜率为 运用点差法求斜率,设都在椭圆上, 两式相减得  ,  ,又由,易知,   ,故 运用类比方法可以推出已知是双曲线  弦,中点,,则 已知抛物线弦中点,,则 曲线与方程般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上点与个二元方程,实数解建立了如下关系曲线上点坐标都是这个方程解以这个方程解为坐标点都是曲线上点那么这个方程叫做曲线方程,这条曲线叫方程曲线曲线既可以看作是符合种条件点集合,又可以看作是满足种条件动点运动轨迹,因此,此类问题有时也叫做轨迹问题直接法求动点轨迹方程步骤建系建立适当坐标系设点设轨迹上任点⑩列式列出点所满足关系式 代换依关系式特点,选用距离公式斜率公式等将其转化为关于方程,并化简 证明证明所得方程即为符合条件动点轨迹方程 过点 直线与抛物线交于两点,为坐标原点,则  值为   无法确定答案设,直线方程为 ,代入抛物线方程得,由此得        ,   故选抛物线上点到直线距离最小值是    答案设直线与相切,联立两方程整理得, ,由题意知所求最小值为  过点,作倾斜角为 直线,与抛物线交于两点,则答案 解析过,且倾斜角为 直线方程为,代入得设有     若椭圆  离心率为 ,个焦点恰好是抛物线焦点,则椭圆标准方程为答案  解析由题意得,椭圆个焦点为  椭圆标准方程是  动圆与☉外切,与☉内切,则动圆圆心轨迹是答案以,为焦点双曲线右支解析☉圆心为半径为,设动圆圆心为,半径为,因为动圆与☉外切,又与☉内切,所以由得,又,根据双曲线定义知,动圆圆心轨迹是以,为焦点双曲线右支典例湖北分在平面直角坐标系中,点到点,距离比它到轴距离多记点轨迹为求轨迹方程设斜率为直线过定点,求直线与轨迹恰好有个公共点两个公共点三个公共点时相应取值范围解析设点依题意得,即 ,化简整理得故点轨迹方程为 ,典例题组动点轨迹问题在点轨迹中,记,依题意,可设直线方程为由方程组 可得 当时,把代入轨迹方程,得 故此时直线与轨迹恰好有个公共点 当时,方程判别式为 设直线与轴交点为则由,令,得  ,若 由解得 即当, 时,直线与没有公共点,与有个公共点,故此时直线与轨迹恰好有个公共点若 或 则由解得 或 即当 时,直线与只有个公共点,与有个公共点当 时,直线与有两个公共点,与没有公共点故当  时,直线与轨迹恰好有两个公共点,,,,,,若 则由解得 或 即当  时,直线与有两个公共点,与有个公共点,故此时直线与轨迹恰好有三个公共点综合可知,当, 时,直线与轨迹恰好有个公共点当  时,直线与轨迹恰好有两个公共点当 时,直线与轨迹恰好有三个公共点,,,求动点轨迹时应注意它完备性与纯粹性化简过程可能破坏了方程同解性,因此要注意补上遗漏点或挖去多余点“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同概念,前者要指出曲线形状位置大小等特征,后者指方程包括范围已知抛物线,为顶点,为抛物线上两动点,且满足⊥,如果⊥于点,求点轨迹方程解析设点坐标为直线方程为,显然,则直线方程为 由 解得点坐标为 ,类似地可得点坐标为从而知当时,  故得直线方程为 ,即 , 易知直线方程为  ,,北分在平面直角坐标系中,点到点,距离比它到轴距离多记点轨迹为求轨迹方程设斜率为直线过定点,求直线与轨迹恰好有个公共点两个公共点三个公共点时相应取值范围解析设点依题意得,即 ,化简整理得故点轨迹方程为 ,典例题组动点轨迹问题在点轨迹中,记,依题意,可设直线方程为由方程组 可得 当时,把代入轨迹方程,得 故此时直线与轨迹恰好有个公共点 当时,方程判别式为 设直线与轴交点为则由,令,得  ,若 由解得 即当, 时,直线与没有公共点,与有个公共点,故此时直线与轨迹恰好有个公共点若 或 则由解得 或 即当 时,直线与只有个公共点,与有个公共点当 时,直线与有两个公共点,与没有公共点故当  时,直线与轨迹恰好有两个公共点,,,,,,若 则由解得 或 即当  时,直线与有两个公共点,与有个公共点,故此时直线与