空间角和距离问题例本题满分分如图，平面，分别为,的中点证明平面求与平面所成角的正弦值答案因为,分别是,的中点，所以又,因此,从而平面。例本小题满分分如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形是的中点，⊥底面，Ⅰ证明平面⊥平面Ⅱ求平面和平面所成二面角锐角的大小解Ⅰ如图所示，连结，由是菱形且知，是等边三角形因为是的中点，所以⊥,又∥,所以⊥又因为⊥平面，平面，所以⊥而,因此⊥平面又平面，所以平面⊥平面Ⅱ延长相交于点，连结过点作⊥于，由Ⅰ知平面⊥平面,所以⊥平面在中，因为，所以，在等腰中，取的中点，连接则⊥连结，由三垂线定理的逆定理得，⊥所以是平面和平面所成二面角的平面角锐角在等腰中，在中，所以，在中，故平面和平面所成二面角锐角的大小是源头学子源头学子例如图，在四棱锥中，底面四边长为的菱形，,底面,,为的中点，为的中点Ⅰ证明直线平面Ⅱ求异面直线与所成角的大小Ⅲ求点到平面的距离。证明取中点，连接，又,平面平面平面,为异面直线与若,，则学科网如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面则下列结论正确的是平面平面直线平面直线与平面所成的角为如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是。如图所示是水平放置的平面四边形的直观图，其中试判断该四边形的形状，并求其面积如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形,求证平面设线段的中点分别为，求证∥平面求二面角的正切值的大小。解因为平面⊥平面，平面，⊥，平面∩平面，所以⊥平面所以⊥因为⊿为等腰直角三角形所以，又因为,所以，即⊥因为平面,平面,∩所以平面取的中点,连结则为平行四边形,所以∥在平面内,不在平面内,∥平面由⊥,平面⊥平面,易知⊥平面作⊥,交的延长线于,则∥从而⊥平面,作⊥于,连结,则由三垂线定理知⊥为二面角的平面角,设,则则在⊿中,,在⊿中,。如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上点求证平面平面设，，求点到平面的距离证明底面且平面平面平面解因为，且，点到平面的距离为点评求点到面的距离，常采用等体积法，利用同个几何体，体积相等，体现了转化思想已知为平行四边形所在平面外点，为的中点，求证∥平面直三棱柱中⊥分别是，的中点如图求证⊥平面求证⊥求证平面∥平面已知如图，平面⊥平面，平面⊥平面，是点在平面内的射影求证⊥平面当为的垂心时，求证是直角三角形如图四边形中，∥如图将沿对角线折起，记折起后点的位置为，且使平面⊥平面求证平面⊥平面高三数学复习立体几何考点剖析考点空间几何体的结构三视图直观图例广东将正三棱柱截去三个角如图所示分别是三边的中点得到几何体如图，则该几何体按图所示方向的侧视图或称左视图为解在图的右边放扇墙心中有墙,可得答案例江苏模拟由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是解以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为个。例已知的水平放置的直观图是等腰的，且，如图，则的面积是考点二空间几何体的表面积和体积例广东已知几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图或称主视图是个底边长为高为的等腰三角形，侧视图或称左视图是个底边长为高为的等腰三角形求该几何体的体积求该几何体的侧面积解由已知可得该几何体是个底面为矩形,高为,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥。该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形,且边上的高为,另两个侧面也是全等的等腰三角形,边上的高为侧视图图主视图左视图俯视图因此例湖北卷用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为解截面面积为截面圆半径为，又与球心距离为球的半径是，所以根据球的体积公式知球，故为正确答案考点三点线面的位置关系例如图，在空间四边形中，点分别是边的中点，分别是边上的点，且，则与互相平行与异面与的交点可能在直线上，也可能不在直线上与的交点定在直线上解依题意，可得∥，∥，故∥，由公理可知，共面，因为故≠，所以，是梯形，与必相交，设交点为，因为点在上，故点在平面上，同理，点在平面上，即点是平面与平面的交点，而是这两个平面的交线，由公理可知，点定在平面与平面的交线上。选。例已知正方体中，分别为的中点，∩，∩求证四点共面若交平面于点，则三点共线考点四直线与平面平面与平面平行的判定与性质例如图均为平行四边形分别为对角线，的中点。求证∥平面例如图，在正方体中，分别是的中点求证⊥图平面∥平面考点五直线与平面平面与平面垂直的判定与性质例正方体中为正方形的中心，为的中点，求证平面⊥平面证明连结,分别交,于,在正方体中,对角面为矩形,分别是,的中点四边形为平行四边形平面,平面平面连结,设正方体的棱长为,在正方体中,对角面为矩形且,,分别是,的中点,在中，，即在正方体中平面又，平面平面又平面例如图，为正三角形，⊥平面，∥，且，是中点求证平面⊥平面平面⊥平面考点六空间角和距离问题例本题满分分如图，平面，结,分别交,于,在正方体中,对角面为矩形,分别是,的中点四边形为平行四边形平面,平面平面连结,设正方体的棱长为,在正方体中,对角面为矩形且,,分别是,的中点,在中，，即在正方体中平面又，平面平面又平面例如图，为正三角形，⊥平面，∥，且，是中点求证平面⊥平面平面⊥平面考点六空间角和距离问题例本题满分分如图，平面，分别为,的中点证明平面求与平面所成角的正弦值答案因为,分别是,的中点，所以又,因此,从而平面。例本小题满分分如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形是的中点，⊥底面，Ⅰ证明平面⊥平面Ⅱ求平面和平面所成二面角锐角的大小解Ⅰ如图所示，连结，由是菱形且知，是等边三角形因为是的中点，所以⊥,又∥,所以⊥又因为⊥平面，平面，所以⊥而,因此⊥平面又平面，所以平面⊥平面Ⅱ延长相交于点，连结过点作⊥于，由Ⅰ知平面⊥平面,所以⊥平面在中，因为，所以，在等腰中，取的中点，连接则⊥连结，由三垂线定理的逆定理得，⊥所以是平面和平面所成二面角的平面角锐角在等腰中，在中，所以，在中，故平面和平面所成二面角锐角的大小是源头学子源头学子例如图，在四棱锥中，底面四边长为的菱形，,底面,,为的中点，为的中点Ⅰ证明直线平面Ⅱ求异面直线与所成角的大小Ⅲ求点到平面的距离。证明取中点，连接，又,平面平面平面,为异面直线与