有个根式时，需将它单独留在方程的侧，把其他项移到另侧方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中侧只有个根式，然后两边平方椭圆的标准方程，参数有什么意义方程与有何不同满足什么关系表示椭圆上的点到两焦点距离和的半，的关系如图当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示焦点在轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大牛刀小试椭圆的焦点坐标是答案解析椭圆方程为，椭圆焦点在轴上，又，椭圆焦点坐标为椭圆的左右焦点分别为，直线过交椭圆于两点，则的周长为答案解析由题设条件知的周长为求适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是椭圆上点与两焦点的距离的和等于两个焦点的坐标分别为并且椭圆经过点，分析由焦点坐标知椭圆的焦点在轴上，且可知的值，由到两焦点距离和可求出，进而可求出由两焦点坐标可知值及焦点在轴上，结合可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点可确定的值解析椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为由已知，得，得又因为，所以因此，所求椭圆的标准方程为椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为由已知，得因为，所以因为点，在椭圆上，所以，即将式代入，得，解得舍去由得因此，所求椭圆的标准方程为点评要注意焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同，从方程看哪个分母大，焦点就在哪个轴上解题时，也可以根据椭圆的定义，由点，与焦点，的距离的和等于，求出的值然后由，确定的值典例探究学案椭圆的定义椭圆上点到个焦点的距离为，则到另个点的距离为如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为分析中，根据椭圆方程求出，利用椭圆定义求点到另个焦点的距离中，由方程表示椭圆知分母都为正值，由焦点位置确定分母的大小解析设椭圆的左右焦点分别为，不妨令，由，得，故选由题意，得，答案方法规律总结由椭圆的标准方程可求的值，进而可求焦点坐标等椭圆标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在哪个轴上当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时，注意考虑可否利用定义求解对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件椭圆的两焦点为，直线过交椭圆于两点，则的周长为答案解析若方程的曲线是椭圆，则，从而，但当时，可能有，也可能有，这时方程不表示椭圆，故选如图，由椭圆的定义，得，的周长等于求适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别为并且椭圆上点与两焦点的距离的和等于求椭圆的标准方程焦点分别为经过点经过两点，分析由已知可得的值，由可求出，再根据焦点位置写出椭圆的方程利用两点间的距离公式求出，再写方程也可用待定系数法利用待定系数法，但需讨论焦点的位置也可利用椭圆的般方程，直接求，得方程解析由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，椭圆的标准方程为解法椭圆的焦点在轴上由余弦定理知式两边平方得得方法规律总结在解焦点三角形问题时，般有两种方法几何法利用两个关系式利用正余弦定理可得的关系式，然后求出，但是，般我们不直接求出，而是根据需要，把看成个整体来处理代数法将点坐标设出来，利用条件，得出点的坐标间的关系式，再由点在椭圆上，代入椭圆方程，联立方程组，解出点的纵坐标，然后求出面积已知椭圆的焦点为为椭圆上的点，已知⊥，则的面积为答案解析解法几何法如图，由已知得则，由此可得，解法二代数法设点坐标为由已知得⊥，点在以为直径的圆上，即，又点在椭圆上，所以，联立方程组得解得，已知是两个定点且的周长等于，求这个三角形的顶点的轨迹方程分析由的周长等于可知点到两个定点的距离之和是，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，但点与点不能在同直线上适当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程定义法解决轨迹问题解析以过两点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图所示由，可知点由得因此，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和，但点不在轴上由得所以点的轨迹方程为方法规律总结如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是常数，且该常数定值大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程已知两圆动圆和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹方程解析如图所示，设动圆圆心为半径为由题意得动圆和内切于圆，圆外切于圆，动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，故所求椭圆方程为考虑问题要全面方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围错解方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得所以实数的取值范围是，辨析错解只注意了焦点在轴上，而没有考虑到且，这是经常出现的种错误，定要避免错解中，由及，应得及，与不定是正值，上述解法误认为与是正值而导致错误正解方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得所以且，所以所求的取值范围为，，成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修圆锥曲线与方程第二章我们知道，用个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是个圆，如果改变平面与圆锥轴线的夹角，又会得到什么图形呢如图，当截面与圆锥轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆抛物线双曲线我们通常把圆椭圆抛物线双曲线统称为圆锥曲线实际上，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨道上运行，太阳系其他行星也是如此，太阳则位于椭圆的个焦点上如果这些行星的运行速度增大到种程度，它们就会沿抛物线或双曲线轨迹运行人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理相对于个物体，按万有引力定律受它吸引的另物体的运动，不可能有任何其他的轨道了因而，圆锥曲线在这种意义上讲，构成了我们宇宙的基本形式圆锥曲线具有怎样的几何特征如何研究圆锥曲线的性质呢椭圆第二章椭圆及其标准方程典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程掌握椭圆的定义标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程重点椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式难点椭圆标准方程的建立和推导思维导航在生活中，我们对椭圆并不陌生油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线天体中些行星和卫星运行的轨道都是椭圆灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的那么椭圆是怎样定义的怎样才能画出椭圆呢给你两个图钉根无弹性的细绳张纸板，能画出椭圆吗椭圆的定义思维导航新知导学我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为也曾讨论过到两定点距离之比为个常数的点的轨迹的情形那么平面内到两定点距离的和或差等于常数的点的轨迹是什么呢平面内与两个定点的距离的等于常数大于的点的轨迹或集合叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的，间的距离叫做椭圆的焦距当常数等于时轨迹为，当常数小于时，轨迹连结这两点的线段的垂直平分线和焦点两焦点线段不存在牛刀小试已知是两点动点满足，则点的轨迹是动点满足，则点的轨迹是答案以为焦点，焦距为的椭圆线段解析因为且动点满足，由椭圆定义知，动点的轨迹是以为焦点，焦距为的椭圆因为，所以动点的轨迹是线段思维导航如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择般情况下，应使已知点的坐标和直线或曲线的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择轴经过两个定点，并且使坐标原点为线段的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程椭圆的标准方程思维导航在推导椭圆方程时，为何要设，常数为为何令在求方程时，设椭圆的焦距为，椭圆上任意点到两个焦点的距离的和为，这是为了使推导出的椭圆的方程形式简单令是为了使方程的形式整齐而便于记忆推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么方程中只有个根式时，需将它单独留在方程的侧，把其他项移到另侧方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中侧只有个根式，然后两边平方椭圆的标准方程，参数有什么意义方程与有何不同满足什么关系表示椭圆上的点到两焦点距离和的半，的关系如图当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示焦点在轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大牛刀小试椭圆的焦点坐标是答案解析椭圆方程为，椭圆焦点在轴上，又，椭圆焦点坐标为椭圆的左右焦点分别为，直线过交椭圆于两点，则的周长为答案解析由题设条件知的周长为求适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是椭圆上点与两焦点的距离的和等于两个焦点的坐标分别为并且椭圆经过点，分析由焦点坐标知椭圆的焦点在轴上，且可知的值，由到两焦点距离和可求出，进而可求出由两焦点坐标可知值及焦点在轴上，结合可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点可确定的值解析椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为由已知，得，得又因为，所以因此，所求椭圆的标准方程为椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为由已知，得因为，所以因为点，在椭圆上，所以，即将式代入，得，解得舍去由得因此，所求椭圆的标准方程为点评要注意焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同，从方程看哪个分母大，焦点就在哪个轴上解题时，也可以根据椭圆的定义，由点，与焦点，的距离的和等于，求出的值然后由有个根式时，需将它单独留在方程的侧，把其他项移到另侧方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中侧只有个根式，然后两边平方椭圆的标准方程，参数有什么意义方程与有何不同满足什么关系表示椭圆上的点到两焦点距离和的半，的关系如图当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，方程表示焦点在轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大牛刀小试椭圆的焦点坐标是答案解析椭圆方程为，椭圆焦点在轴上，又，椭圆焦点坐标为椭圆的左右焦点分别为，直线过交椭圆于两点，则的周长为答案解析由题设条件知的周长为求适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是椭圆上点与两焦点的距离的和等于两个焦点的坐标分别为并且椭圆经过点，分析由焦点坐标知椭圆的焦点在轴上，且可知的值，由到两焦点距离和可求出，进而可求出由两焦点坐标可知值及焦点在轴上，结合可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点可确定的值解析椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为由已知，得，得又因为，所以因此，所求椭圆的标准方程为椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为由已知，得因为，所以因为点，在椭圆上，所以，即将式代入，得，解得舍去由得因此，所求椭圆的标准方程为点评要注意焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同，从方程看哪个分母大，焦点就在哪个轴上解题时，也可以根据椭圆的定义，由点，与焦点，的距离的和等于，求出的值然后由，确定的值典例探究学案椭圆的定义椭圆上点到个焦点的距离为，则到另个点的距离为如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为分析中，根据椭圆方程求出，利用椭圆定义求点到另个焦点的