，是棱的中点证明平面⊥平面平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解证明由题设知⊥，⊥，∩，所以⊥平面又⊂平面，所以⊥由题设知，所以，即⊥又∩，所以⊥平面又⊂平面，故平面⊥平面设棱锥的体积为由题意得又三棱柱的体积，所以∶∶故平面分此棱柱所得两部分体积的比为∶二面角例已知，分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且求过的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小解如图所示，在平面内延长和交于点，则是平面与平面的公共点于是为这两个平面的交线因而，所求二面角即为二面角，且分别为和的中点，⊥又⊥平面，⊂平面，⊥又，为平面内的两条相交直线，⊥平面⊂平面，⊥是二面角的平面角由已知，则故所求二面角的大小为类题通法解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方法为作，即先作出二面角的平面角二证，即说明所作角是二面角的平面角三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”活学活用如图所示，在中，⊥，⊥平面，垂直平分，且分别交，于点又求二面角的大小解为中点，且，⊥又⊥，∩，⊥平面，⊥又⊥平面，可得⊥，∩，⊥平面，从而⊥，⊥，为二面角的平面角设中，⊥，在中，，，即二面角为线面面面垂直的综合问题例如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱求证⊥平面平面⊥平面二面角是的二面角证明，则⊥同理可证⊥又∩，且，⊂平面，⊥平面由知⊥平面，又⊂平面，⊥四边形是正方形，⊥又∩，且，⊂平面，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面由知⊥，又⊥，且，为平面内两条相交直线，⊥平面⊂平面，⊥则为二面角的平面角在中，即二面角是的二面角类题通法本题是涉及线面垂直面面垂直二面角的求法等诸多知识点的道综合题，解决这类问题的关键是转化线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直活学活用为正三角形，⊥平面，，且，是的中点求证平面⊥平面平面⊥平面证明设，作交于，则因为⊥面，所以⊥，⊥，所以又因为⊥面，所以，所以取的中点，连接则綊綊所以四边形为平行四边形，所以又因为⊥面，所以⊥，⊥又，为中点，所以⊥所以⊥平面，所以面⊥面由知⊥平面，而⊂面，所以平面⊥平面线面垂直的综合应用典例分如图所示，已知三棱锥，，为的中点，且是正三角形，⊥求证平面⊥平面求二面角的正弦值若为的中点，求三棱锥的体积解题流程证面面垂直求二面角的正弦值求三棱锥的面垂直面面垂直二面角的求法等诸多知识点的道综合题，解决这类问题的关键是转化线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直活学活用为正三角形，⊥平面，，且，是的中点求证平面⊥平面平面⊥平面证明设，作交于，则因为⊥面，所以⊥，⊥，所以又因为⊥面，所以，所以取的中点，连接则綊綊所以四边形为平行四边形，所以又因为⊥面，所以⊥，⊥又，为中点，所以⊥所以⊥平面，所以面⊥面由知⊥平面，而⊂面，所以平面⊥平面线面垂直的综合应用典例分如图所示，已知三棱锥，，为的中点，且是正三角形，⊥求证平面⊥平面求二面角的正弦值若为的中点，求三棱锥的体积解题流程证面面垂直求二面角的正弦值求三棱锥的体积是直角三角形且⊥，是正三角形，为的中点，对于，由是直角三角形以及是正三角形，寻找线线垂直对于，先找出二面角的平面角，再求值对于，关键是由垂直找到三棱锥的高证⊥⊥平面⊥⊥平面平面⊥平面证是二面角的平面角⊥证綊又由⊥平面⊥平面得出结论规范解答证明是的中点，是正三角形，⊥又⊥，∩，⊥平面分又⊂平面，⊥又⊥，∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面分名师批注解答的过程中，若漏掉⊥平面，⊥平面，而直接得出线线垂直或面面垂直，依据就不够充分⊥，且⊥，是二面角的平面角由知⊥平面，则⊥，分若没有说明是二面角的平面角，则解析不完整，要扣分，因此，在求二面角时，定要说明哪个角是二面角的平面角为的中点，为的中点，綊，且，由知⊥平面，⊥平面分若⊥平面漏掉，即没有明确三棱锥的高，也是不严谨，在求解三棱锥体积时，要明确底面以及三棱锥的高灵活运用等体积转化法求解活学活用在如图所示的几何体中，四边形是正方形，⊥平面，，分别为的中点，且求证平面⊥平面求三棱锥与四棱锥的体积之比解证明由已知⊥平面，，所以⊥平面又⊂平面，所以⊥因为四边形为正方形，所以⊥又∩，因此⊥平面在中，因为，分别为，的中点，所以，因此⊥平面又⊂平面，所以平面⊥平面因为⊥平面，四边形为正方形，不妨设，则，所以正方形由于⊥平面，且，所以的长即为点到平面的距离三棱锥，所以∶∶随堂即时演练在二面角的棱上任选点，若是二面角的平面角，则必须具有的条件是⊥，⊂，⊂⊥，⊥⊥，⊂，⊂⊥，⊥，且⊂，⊂答案对于直线，和平面能得出⊥的组条件是⊥，，⊥，∩，⊂，⊥，⊂，⊥，⊥解析与中也可与平行，中不定⊥，故选答案如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的边紧靠在工件的个面上，另边在工件的另个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是解析如图因为⊥，⊥，⊂，⊂且∩，根据线面垂直的判定定理，可得⊥又⊂，根据面面垂直的判定定理，可得⊥答案面面垂直的判定定理聊城高检测若是所在平面外点，而和都是边长为的正三角形那么二面角的大小为解析取的中点，连接则为二面角的平面角，所以为直角三角形，答案在四面体中，求证平面⊥平面证明如图所示，与是全等的等腰三角形，取的中点，连接则⊥，⊥为二面角的平面角在中，同理在中，由于，⊥，即，平面⊥平面理解教材新知突破常考题型应用落实体验题型题型二第二章题型三第部分跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测知识点知识点二平面与平面垂直的判定二面角提出问题随手打开本书，发现每两书页之间所在的平面也形成个角度修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度问题根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点提示可以是锐角直角钝角平角问题两平面形成的角可以为角吗提示可以问题两平面成角的范围是什么提示导入新知二面角定义从条直线出发的所组成的图形叫做二面角如图叫做二面角的棱，叫做二面角的面记法，在，内，分别取点时，可记作当棱记为时，可记作或两个半平面直线半平面和二面角的平面角定义在二面角的棱上任取点，如图所示，以点为垂足，在分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做直二面角平面角是的二面角半平面和内二面角的平面角直角化解疑难对于二面角及其平面角的理解二面角是个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是平面与平面垂直提出问题建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直问题由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系提示垂直问题若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出方法提示可以，只需在平面内找直线垂直于另平面即可导入新知面面垂直的定义定义如果两个平面相交，且它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直画法直二面角记作⊥两平面垂直的判定文字语言个平面过另个平面的，则这两个平面垂直图形语言如图符号语言⊥，∩，⊂⇒⊥垂线化解疑难对面面垂直的判定定理的理解该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”定理的关键词是“过另面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另个面的垂线线面之间的垂直关系存在如下转化特征线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握面面垂直的判定例如图所示，已知，，又求证平面⊥平面证明法利用定义证明和是等边三角形，则有，令其值为，则和为共底边的等腰三角形取的中点，如图所示，连接则⊥，⊥，为二面角的平面角在中，在中在中，即二面角为直二面角，故平面⊥平面法二利用判定定理，且点在平面上的射影为的外心为直角三角形，点在上的射影为斜边的中点，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面类题通法证明面面垂直的方法定义法即说明两个半平面所成的二面角是直二面角判定定理法在其中个平面内寻找条直线与另个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”性质法两个平行平面中的个垂直于第三个平面，则另个也垂直于此平面活学活用新课标全国高考如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，是棱的中点证明平面⊥平面平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解证明由题设知⊥，⊥，∩，所以⊥平面又⊂平面，所以⊥由题设知，所以，即⊥又∩，所以⊥平面又⊂平面，故平面⊥平面设棱锥的体积为由题意得又三棱柱的体积，所以∶∶故平面分此棱柱所得两部分体积的比为∶二面角例已知，分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且求过的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小解如图所示，在平面内延长和交于点，则是平面与平面的公共点于是为这两个平面的交线因而，所求二面角即为二面角，且分别为和的中点，⊥又⊥平面，⊂平面，⊥又，为平面内的两条相交直线，⊥平面⊂平面，⊥是二面角的平面角由已知，则故所求二面角的大小为类题通法解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方