本身是随机的,而概率是个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关例题下表是种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题每批粒数发芽的粒数发芽的频率完成上面表格估计该油菜籽发芽的概率是多少提示代入公式得频率,估计频率的稳定值即为概率解从左到右依次填入由于每批种子发芽的频率稳定在附近,所以估计该油菜籽发芽的概率为专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三专题三古典概型问题古典概型是种最基本的概型,也是学习其他概型的基础,要掌握古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性在应用公式𝑚𝑛时,关键是要正确理解基本事件与事件的关系,从而求出,在求基本事件的总数时,可以用列举法列图表或设有序数对的方法来求解例题个均匀的正四面体面上分别涂有,四个数字,现在随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为,记,求的概率若方程至少有根就称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三解因为是投掷两次,因此基本事件是有共个基本事件当时的所有取值为,所以若方程根为,则,即,不成立若方程根为,则,即,所以𝑏,𝑐若方程根为,则,即,所以𝑏,𝑐若方程根为,则,即,所以𝑏,𝑐综合知的所有可能取值为所以“漂亮方程”共有个,方程为“漂亮方程”的概率为专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三例题已知实数,求直线不过第四象限的概率求直线与圆有公共点的概率解实数对,的所有取值为共种设“直线不经过第四象限”为事件,“直线与圆有公共点”为事件若直线不经过第四象限,则必须满足𝑎,𝑏即满足条件的实数对,有共种则故直线不经过第四象限的概率为专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三专题四若直线与圆有公共点,则必须满足𝑏𝑎,即若,则,符合要求,此时实数对,有种不同取值若,则,符合要求,此时实数对,有种不同取值若,则,符合要求,此时实数对,有种不同取值若,则,符合要求,此时实数对,有种不同取值综上可知,满足条件的实数对,共型的三种类型分别为长度型面积型和体积型,在解题时要准确把握,要把实际问题作合理的转化,特别是涉及两个变量的取值范围时,般是面积型几何概型,通常建立坐标系求解专题五专题探究知识网络专题专题二专题四专题三例题为长方形,为的中点,在长方形内随机取点,取到的点到的距离大于的概率为解析如图所示,若取到的点到的距离大于,则点在阴影部分内,阴影部分的面积为,所以所求的概率为答案专题五专题探究知识网络专题专题二专题四专题三例题将长为的绳子随机剪成三段,求三段都构成三角形的概率专题五专题探究知识网络专题专题二专题四专题三解记事件为“三段能构成三角形”,如图设,分别表示其中两段的长度,则第三段的长度为则试验的全部结果可构成区域,⇒𝑙⇒⇒𝑙𝑙𝑙即图中阴影部分,其面积为𝑙𝑙所以𝑆𝐴𝑆𝛺𝑙𝑙专题五专题探究知识网络专题专题二专题三专题四专题五专题五概率与统计的综合问题概率与统计相结合,是新课标数学高考试题的个亮点,其中所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大,属于中档以下难度例题校团委组织该校高中年级班以小组为单位利用周末时间进行了次社会实践活动,且每个小组有名同学,在实践活动结束后,学校团委对该班的所有同学都进行了测评,该班的,两个小组所有同学所得分数百分制的茎叶图如图所示,其中组同学的分数已被污损,但知道组学生的平均分比组学生的平均分高分若在组学生中随机挑选人,求其得分超过分的概率现从组这名学生中随机抽取名同学,设其分数分别为求的概率专题探究知识网络专题专题二专题三专题四专题五解组学生的平均分为分,组学生平均分为分设被污损的分数为,则𝑥,解得,组学生的分数分别为,其中有人的分数超过分,在组学生随机选人,其所得分超过分的概率为组学生的分数分别是,在组学生中随机抽取名同学,其分数组成的基本事件,有共个,随机抽取名同学的分数,满足的基本事件有共个,的概率为专题探究知识网络专题专题二专题三专题四专题五例题班同学利用国庆节进行社会实践,对,岁的人群随机抽取人进行了次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图组数分组低碳族的人数占本组的频率第组,第二组,第三组,第四组,第五组,第六组,专题探究知识网络专题专题二专题三专题四专题五补全频率分布直方图并求的值从年龄段在,的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动,其中选取人作为领队,求选取的名领队中恰有人年龄在,岁的概率专题探究知识网络专题专题二专题三专题四专题五解第二组的频率为,所以高为频率分布直方图如下第组的人数为,频率为,所以由题可知,第二组的频率为,所以第二组的人数为,所以第四组的频率为,所以第四组的人数为,所以专题探究知识网络专题专题二专题三专题四专题五因为,岁年龄段的“低碳族”与,岁年龄段的“低碳族”的比值为∶∶,所以采用分层抽样法抽取人岁中有人岁中有人设,岁中的人为,岁中的人为则选取人作为领队的选法有共种其中恰有人年龄在,岁的有共种所以选取的名领队中恰有人年龄在,岁的概率为本章整合知识网络专题探究专题探究知识网络专题专题二专题三专题互斥事件与对立事件互斥事件是不可能同时发生的两个事件对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者必须有个发生因此对立事件定是互斥事件,但互斥事件不定是对立事件,对立事件是互斥事件的特殊情况利用集合的观点来判断设事件与所含的结果组成的集合分别是全集为事件与互斥,即集合∩⌀事件与对立,即集合∩⌀,且,也即∁或∁对互斥事件与的和,可理解为集合对立事件是针对两个事件来说的,而互斥则可以是多个事件间的关系如果,中任何两个都是互斥事件,那么我们就说,彼此互斥若事件彼此互斥,则应用互斥事件的概率加法公式解题时,定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和对于较复杂事件的概率,可以转化为求其对立事件的概率求复杂事件的概率通常有两种方法是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式𝐴求解专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三例题从张扑克牌红桃黑桃方块梅花的点数为,各张中任取张判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由“抽出红桃”与“抽出黑桃”“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”“抽出牌的点数为的倍数”与“抽出牌的点数大于”解是互斥事件,不是对立事件理由是从张扑克牌中任意抽取张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件同时,也不能保证其中必有个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事件既是互斥事件,又是对立事件理由是从张扑克牌中任意抽取张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有个发生,因此它们既是互斥事件,又是对立事件不是互斥事件,也不是对立事件理由是从张扑克牌中任意抽取张,“抽出牌的点数为的倍数”与“抽出牌的点数大于”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为,因此,这二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三例题在时期内,条河流处的年最高水位在各个范围内的概率如下表年最高水位单位,概率计算在同时期内,河流此处的年最高水位在下列范围内的概率,解记该河流处的年最高水位在,单位分别为事件,它们彼此互斥所以年最高水位在,的概率分别为专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三专题二概率与频率频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值频率本身是随机的,而概率是个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关例题下表是种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题每批粒数发芽的粒数发芽的频率完成上面表格估计该油菜籽发芽的概率是多少提示代入公式得频率,估计频率的稳定值即为概率解从左到右依次填入由于每批种子发芽的频率稳定在附近,所以估计该油菜籽发芽的概率为专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三专题三古典概型问题古典概型是种最基本的概型,也是学习其他概型的基础,要掌握古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性在应用公式𝑚𝑛时,关键是要正确理解基本事件与事件的关系,从而求出,在求基本事件的总数时,可以用列举法列图表或设有序数对的方法来求解例题个均匀的正四面体面上分别涂有,四个数字,现在随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为,记,求的概率若方程至少有根就称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率专题四专题五专题探究知识网络专题专题二专题三