用导数的几何意义解题，主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化以平行垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解微题型综合考查曲线的切线问题例北京卷已知函数求在区间，上的最大值若过点，存在条直线与曲线相切，求的取值范围问过点，分别存在几条直线与曲线相切只需写出结论解由得令，得或因为，，所以在区间，上的最大值为设过点，的直线与曲线相切于点则，且切线斜率为，所以切线方程为，因为整理得，设，则“过点，存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”，当变化时，与的变化情况如下，所以，是的极大值，是的极小值当，即时，此时在区间，和，上分别至多有个零点，所以至多有个零点当，即时，此时在区间，和，上分别至多有个零点，所以至多有个零点当且，即时，因为所以分别在区间，和，上恰有个零点，由于在区间，和，上单调，所以分别在区间，和，上恰有个零点综上可知，当过点，存在条直线与曲线相切时，的取值范围是，过点，存在条直线与曲线相切过点，存在条直线与曲线相切过点，存在条直线与曲线相切探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第问中的切线过点，训练已知函数设，是函数图象上的点，求点处的切线方程证明过点，可以作曲线的三条切线解因为所以曲线在点，处的切线的斜率为所以切线方程为，即证明由知曲线在点，处的切线的方程为若切线过点则，即过点可作曲线的三条切线等价于方程有三个不同的解设，则当变化时的变化情况如下表，极大值极小值因为在上只有个极大值和个极小值，所以过点可以作曲线的三条切线热点二利用导数解决与函数零点或方程的根有关的问题微题型讨论方程根的个数例广州模拟已知函数的定义域为，在，上有两解即满足的的个数为探究提高研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性最大值最小值变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这工具在研究方程中的重要应用微题型根据零点个数求参数范围例保定模拟已知函数，为自然对数的底数，判断曲线在点，处的切线与曲线的公共点个数当，时，若函数有两个零点，求的取值范围解，所以切线斜率又，曲线在点，处的切线方程为由，由可知当时，即或时，有两个公共点当时，即或时，有个公共点当时，即时，没有公共点，由，得令，则当，时，由，得所以在，上单调递减，在，上单调递增，因此由比较可知，所以，结合函数图象可得，当时，函数有两个零点探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域求导数，得单调区间和极值点画出函数草图数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况进而求解训练已知函数，且在，上的最大值为求函数的解析式判断函数在，内的零点个数，并加以证明解由已知，得，且当，时，有，从而，在，上是增函数，又在，上的图象是连续不断的，故在，上的最大值为，即，解得综上所述得在，内有且只有两个零点证明如下由知从而，又在，上的图象是连续不断的，所以在，内至少存在个零点又由知在，上单调递增，故在，内有且只有个零点当，时，令由且在，上的图象是连续不断的，故存在使得由，知，时，有，从而在，内单调递减当，时即，从而在，内单调递增，故当，时，，故在，上无零点当，时，有，即，从而在，内单调递减又且的图象在，上连续不间断，从而在区间，内有且仅有个零点综上所述，在，内有且只有两个零点求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式，它的难点在于分清“过点的切线”与“在点处的切线”的差异突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点，的切线中，点不定是切点，点也不定在已知曲线上，而在点，处的切线，必以点为切点，则此时切线的方程是我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解直线与函数图象的交点两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题研究函数图象的交点方程的根函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数方程不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性质函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形转化能力因此在高考压轴题中占有比较重要的地位第讲导数与函数图象的切线及函数零点问题高考定位在高考试题的导数压轴题中，把求切线和研究函数的性质交汇起来是个命题热点两个函数图象的交点问题可以转化为个新的函数的零点问题，函数图象与函数零点是函数中的两个重要问题，在高考试题导数压轴题中涉及两个函数图象的交点问题是高考命题的另热点真题感悟全国Ⅰ卷已知函数，当为何值时，轴为曲线的切线用，表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数解设曲线与轴相切于点则，即解得，因此，当时，轴为曲线的切线当，时，所以只需考虑在，的零点个数ⅰ若或，则在，上无零点，故在，单调而所以当时，在，内有个零点当时，在，没有零点ⅱ若，即，在，无零点若，即，则在，有唯零点若或时，有个零点当或时，有两个零点当时，有三个零点考点整合求曲线的切线方程的三种类型及方法已知切点求过点的切线方程求出切线的斜率，由点斜式写出方程已知切线的斜率为，求的切线方程设切点通过方程解得，再由点斜式写出方程已知切线上点非切点，求的切线方程设切点利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程组解得，再由点斜式或两点式写出方程三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可存在两个极值点，且的函数的零点分布情况如下的符号零点个数充要条件为极大值，为极小值个两个或者三个且为极小值，为极大值个两个或者三个且研究两条曲线的交点个数的基本方法数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数热点函数图象的切线问题微题型单考查曲线的切线方程例衡水中学模拟在平面直角坐标系中，设是曲线与曲线的个公共点，若在处的切线与在处的切线互相垂直，则实数的值是解析设则在处的切线的斜率为，在处的切线的斜率为，又在处的切线与在处的切线互相垂直，所以，即，又，所以，代入，得，将，代入，得答案探究提高求曲线的切线要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异，过点的切线中，点不定是切点，点也不定在已知曲线上，而在点处的切线，必以点为切点利用导数的几何意义解题，主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化以平行垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解微题型综合考查曲线的切线问题例北京卷已知函数求在区间，上的最大值若过点，存在条直线与曲线相切，求的取值范围问过点，分别存在几条直线与曲线相切只需写出结论解由得令，得或因为，，所以在区间，上的最大值为设过点，的直线与曲线相切于点则，且切线斜率为，所以切线方程为，因为整理得，设，则“过点，存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”，当变化