，上有唯实根，且于是在处，取到最小值又，得，两边取对数得故综上可知，当时成立探究提高证明或，可通过构造函数，将上述不等式转化为求证或，从而利用求的最小值或最大值来证明不等式或者，利用或来证明不等式在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明微题型不等式恒成立求参数范围问题例已知函数，讨论函数的单调区间若函数在处取得极值，对∀，，恒成立，求实数的取值范围设，若对∀，，恒成立，求的取值范围解在区间，上当时，恒成立，在区间，上单调递减当时，令得，在区间，上函数单调递减，在区间，上函数单调递增综上所述当时，的单调递减区间是，，无单调递增区间当时，的单调递减区间是单调递增区间是，因为函数在处取得极值，所以，解得，经检验可知满足题意由已知，即，即对∀，恒成立，令，则，易得在，上单调递减，在，上单调递增，所以，即，∀，即设，即∀，，恒成立，等价于函数在，上的最大值若在，上单调递增，即，这与要求的矛盾若，方程的判别式当，即时，所以在，上单调递减即不等式成立当时，方程的两根分别为，当，时单调递增与要求矛盾综上所述，探究提高对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式端是含有参数的不等式，另端是个区间上具体的函数，这样就把问题转化为端是函数，另端是参数的不等式，便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法训练武汉模拟设函数求函数的单调区间若不等式在，上恒成立，求的最大值解函数的定义域为，由，得由，得则单调递减，因为，所以的最大值为热点二存在与恒成立问题例南昌模拟已知函数当时，讨论的单调性设，当时，若对任意存在使，求实数的取值范围解因为，所以，，令，，ⅰ当时，，所以当，时此时，函数单调递减当，时此时，函数单调递增ⅱ当时，由，即，解得，当时恒成立，此时，函数在，上单调递减当时，时此时，函数单调递减，时此时，函数单调递增，时此时，函数单调递减当时，由于，，时，此时，函数单调递减，时此时，函数单调递增综上所述，当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增当时，函数在，上单调递减当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减因为由，知，∉当，时函数单调递减当，时函数单调递增，所以在，上的最小值为由于“对任意存在使”等价于“在，上的最小值不大于在，上的最小值”，又，所以当时，因为，此时与矛盾当，时，因为，同样与矛盾当，时，因为，解不等式，可得综上，可得的取值范围是，探究提高存在性问题和恒成立问题的区别与联系存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系若恒成立，则若恒成立，则若有解，则若有解，则训练秦皇岛模拟已知函数为常数若是函数的个极值点，求的值当时，试判断的单调性若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围解由已知得，所以，所以当时，因为，所以，而，即，故在，上是增函数当，时，由知，在，上的最小值为，故问题等价于对任意的不等式恒成立，即恒成立记，则令，则，所以在，上单调递减，所以，故，所以在，上单调递减，所以，即实数的取值范围为，不等式恒成立能成立问题常用解法有分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如或直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论数形结合利用导数证明不等式的基本步骤作差或变形构造新的函数利用导数研究的单调性或最值根据单调性及最值，得到所证不等式导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题把证明不等式问题转化为函数的单调性问题把方程解的问题转化为函数的零点问题第讲导数与不等式存在性及恒成立问题高考定位在高考压轴题中，函数与不等式交汇的试题是考查的热点，类是利用导数证明不等式，另类是存在性及恒成立问题真题感悟福建卷改编已知函数，证明当时证明当时，存在，使得对任意的恒有证明令，，，则有当，时所以在，上单调递减，故当时即当时，令，，，则有当时故在，单调递增故任意正实数均满足题意当时，令，得，取，对任意有，从而在，单调递增，所以，即综上，当时，总存在，使得对任意恒有考点整合常见构造辅助函数的四种方法移项法证明不等式的问题转化为证明，进而构造辅助函数构造“形似”函数对原不等式同解变形，如移项通分取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数放缩法若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数主元法对于或可化为，的不等式，可选或为主元，构造函数，或，利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法分离参数法将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围般地，恒成立，只需即可恒成立，只需即可函数思想法将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值最值，然后构建不等式求解不等式的恒成立与能成立问题对切恒成立⇔是的解集的子集⇔对能成立⇔与的解集的交集不是空集⇔对∀，使得⇔对∀，∃使得⇔热点导数与不等式微题型利用导数证明不等式例已知函数设是的极值点，求，并讨论的单调性当时，证明解易知由是的极值点得，所以于是，定义域为，，在，上是增函数，且当，时，时故在，上单调递减，在，上单调递增证明当时，故只需证明当时当时，在，上单调递增又所以在，上有唯实根，且于是在处，取到最小值又，得，两边取对数得故综上可知，当时成立探究提高证明或，可通过构造函数，将上述不等式转化为求证或，从而利用求的最小值或最大值来证明不等式或者，利用或来证明不等式在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明微题型不等式恒成立求参数范围问题例已知函数，讨论函数的单调区间若函数在处取得极值，对∀，，恒成立，求实数的取值范围设，若对∀，，恒成立，求的取值范围解在区间，上当时，