面上点，则三点共线的充要条件是其中三角形中线向量公式若为的边的中点，则向量与向量，的关系是三角形重心坐标的求法为的重心⇔⇔，热点平面向量的有关运算微题型平面向量的线性运算例北京卷在中，点，满足，若，则解析答案微题型平面向量的坐标运算例保定模拟已知向量若，则探究提高解决此类问题的关键是先选择组基底，并运用平面向量的基本定理，将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式列方程组可得解析依题意得因为所以，解得答案探究提高在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断，即若则的充要条件是若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理当时，⇔存在唯实数，使得来判断微题型平面向量数量积的运算例湖北卷已知向量⊥则天津卷在等腰梯形中，已知，，动点和分别在线段和上，且则的最小值为解析因为⊥，所以所以法在梯形中，，可得即又且，所以，解得在中，由余弦定理，得，所以探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行垂直夹角数量积等知识都可以与三角函数进行交汇不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解微题型平面向量与解三角形例陕西卷的内角所对的边分别为向量，与，平行求若求的面积解因为，所以，由正弦定理，得，又，从而，由于，所以法由余弦定理，得，而，得，即，因为，所以，故的面积为法二由正弦定理，得，从而，又由，知，所以，故所以的面积为探究提高解决此类问题的关键是利用平面向量的知识将条件转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解训练设，，是平面上的两个向量，若向量与互相垂直求实数的值若，且，求的值解由题设，可得，即，则，所以，又，解得或舍去由及题设条件，知，在解决平面向量的数量积问题中，要注意两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的范围平面向量的数量积的几何意义向量的数量积的运算及其性质等平面向量的数量积的运算有两种形式依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化根据平行四边形法则，对于非零向量当时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件等价于向量，互相垂直两个向量夹角的范围是在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线平面向量的综合运用主要体现三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的关系，解题的关键还是三角函数问题解析几何中向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系第讲平面向量高考定位对向量的概念和线性运算的考查多以熟知的平面图形为背景，多为客观题对平面向量数量积的考查多以考查角模等问题为主，难度不大还可能体现模块之间的综合性例如与三角解析几何等相结合真题感悟山东卷已知菱形的边长为，，则解析如图所示，由题意，得，重庆卷若非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为解析由题意，即，所以，选全国Ⅰ卷设为所在平面内点则解析即全国Ⅱ卷设向量，不平行，向量与平行，则实数解析向量，不平行，，又向量与平行，则存在唯的实数，使成立，即，则得解得答案考点整合平面向量的两个重要定理向量共线定理向量与共线当且仅当存在唯个实数，使平面向量基本定理如果，是同平面内的两个不共线向量，那么对这平面内的任向量，有且只有对实数使，其中，是组基底平面向量的两个充要条件若两个非零向量则⇔⇔⊥⇔⇔平面向量的三个性质若则若则若为与的夹角，则平面向量的三个锦囊向量共线的充要条件为平面上点，则三点共线的充要条件是其中三角形中线向量公式若为的边的中点，则向量与向量，的关系是三角形重心坐标的求法为的重心⇔⇔，热点平面向量的有关运算微题型平面向量的线性运算例北京卷在中，点，满足，若，则解析答案微题型平面向量的坐标运算例保定模拟已知向量若，则探究提高解决此类问题的关键是先选择组基底，并运用平面向量的基本定理，将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式列方程组可得解析依题意得因为所以