于两点则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形，当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算利用两点间距离公式弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算热点直线与圆锥曲线的相交弦问题微题型弦长问题例南昌模拟设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，求椭圆的离心率如果，求椭圆的方程解设由题意，知，其中依题意，知直线的方程为，联立得解得，因为，所以，即得离心率因为，所以由，得所以，得，所以椭圆的方程为探究提高求直线与圆锥曲线相交时的弦长问题要注意直线的斜率是不是存在，若不能确定则要分类讨论二要注意直线与圆锥曲线相交于不同的两点时，其判别式大于零微题型中点弦问题例过点，作抛物线的弦，恰被点平分，求所在直线的方程及弦的长度解法设则有两式相减，得又则所以直线的方程为，即由，消去并整理，得，则，由弦长公式，得法二设所在直线的方程为，由，消去并整理，得设由根与系数的关系，得，又是的中点，所以所以⇒所以直线的方程为弦长求解同法探究提高本题较为全面地考查了直线与圆锥曲线相交时的弦长问题，两种解法都是设而不求或，又，故在处的导数值为，在点，处的切线方程为，即在处的导数值为，在点，处的切线方程为，即故所求切线方程为和存在符合题意的点，证明如下设，为符合题意的点，直线，的斜率分别为，将代入的方程得故，从而当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以点，符合题意探究提高探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素点直线曲线或参数存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素点直线曲线或参数存在否则，元素点直线曲线或参数不存在反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法训练已知椭圆的个顶点为，为其两个焦点，的周长为求椭圆的标准方程以，为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存在若存在，请说明有几个，并求出直角边所在的直线方程若不存在，请说明理由解由题意得，解得，所以椭圆的方程是假设存在满足条件的等腰直角三角形，由题意，知直角边，所在直线都不可能平行或垂直于轴设所在直线的方程是，则所在直线的方程是，由得所以同理，可得，由，得，解得或故存在三个满足条件的内接等腰直角三角形，直角边所在直线的方程是或或直线与抛物线位置关系的提醒若点在抛物线内，则过点且和抛物线只有个交点的直线只有条，此直线与抛物线的对称轴平行若点在抛物线上，则过点且和抛物线只有个交点的直线有两条，条是抛物线的切线，另条直线与抛物线的对称轴平行若点在抛物线外，则过点且和抛物线只有个交点的直线有三条，两条是抛物线的切线，另条直线与抛物线的对称轴平行弦长公式对于直线与椭圆的相交直线与双曲线的相交直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导求中点弦的直线方程的常用方法点差法，设弦的两端点坐标分别为分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为元二次方程，用根与系数的关系求解存在性问题求解的思路及策略思路先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在若结论不正确，则不存在策略当条件和结论不唯时要分类讨论当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件第讲直线与圆锥曲线的位置关系高考定位直线与圆锥曲线的位置关系直是命题的热点，尤其是有关弦的问题以及存在性问题，计算量偏大，属于难点，要加强这方面的专题训练真题感悟江苏卷如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为求椭圆的标准方程过的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点若，求直线的方程解由题意，得且，解得则，所以椭圆的标准方程为当⊥轴时又，不合题意当与轴不垂直时，设直线的方程为，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为且若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意从而，故直线的方程为，则点的坐标为从而因为，所以，解得此时直线的方程为或考点整合直线与圆锥曲线的位置关系直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去个未知数，得到个元二次方程若，则直线与椭圆相交若，则直线与椭圆相切若，则直线与椭圆相离直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立，消去或，得到个元方程或若，当时，直线与双曲线相交当时，直线与双曲线相切当时，直线与双曲线相离若时，直线与渐近线平行，与双曲线有个交点直线与抛物线的位置关系的判定方法将直线方程与抛物线的方程联立，消去或，得到个元方程或当时，用判定，方法同上当时，直线与抛物线的对称轴平行，只有个交点有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算斜率为的直线与圆锥曲线交于两点则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形，当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算利用两点间距离公式弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算热点直线与圆锥曲线的相交弦问题微题型弦长问题例南昌模拟设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，求椭圆的离心率如果，求椭圆的方程解设由题意，知，其中依题意，知直线的方程为，联立得解得，因为，所以，即得离心率因为，所以