空间向量在空间中，具有和的量叫做空间向量，其大小叫做向量的或单位向量长度或模为的向量大小方向长度模零向量的向量相等向量方向且的向量相反向量方向且的向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，则称这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作共面向量平行于的向量叫共面向量模为相同模相等互相平行重合同平面相同模相等空间向量的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得共面向量定理如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯的有序实数对使空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任向量，存在有序实数组，使得其中，叫做空间的个基底知识点二空间向量的数量积及坐标运算空间向量的数量积空间向量，的数量积，向量用基底表示出来解析故与夹角的余弦值为，即直线与所成角的余弦值为答案点评利用共线向量定理共面向量定理可以证明些平行共面问题利用数量积运算可以解决些距离夹角问题方法利用空间向量定理证明平行或垂直问题用向量证平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的法向量垂直证明直线的方向向量与平面内直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量转化为线面平行线线平行问题用向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示提醒用向量证明平行垂直时，要注意解题的规范性如证明线面平行时，仍需要表明条直线在平面内另条直线在平面外例已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面求证平面设是和的交点，求证对空间任点，有解题指导对于只要证明向量可由向量和表示即可，对于只要证明平行于平面内的条直线即可，对于由于四边形为平行四边形，所以为与的中点于是向量可由向量和表示，再将与用，和，表示证明连接，则，由共面向量定理的推论知四点共面因为，所以，又⊂平面，⊄平面，所以平面连接由知，同理，所以，綉，所以，交于点且被平分故点评在求个向量由其他向量表示的时候，通常利用向量的三角形法则，平行四边形法则和共线向量特点把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解第六节空间向量的应用考点梳理考纲速览命题解密热点预测空间向量及其运算证明平行与垂直空间向量及其运算了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直通过线线线面面面关系考查空间向量的坐标运算，利用空间向量求空间距离，考查用向用向量方法证明有关直线和平面的位置关系，求线段长度，点到面的距离及求异面直线的夹角斜线与平考点梳理考纲速览命题解密热点预测利用空间向量求角空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量能用向量语言表述直线与直线直线与平面平面与平面的垂直平行关系能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的些定理包括三垂线定理能用向量方法解决直线与直线直线与平面平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用量方法求异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角的大小面所成的角二面角等是高考热点预测高考仍将以空间几何体为载体，考查空间向量的应用知识点空间向量的有关概念及定理空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有和的量叫做空间向量，其大小叫做向量的或单位向量长度或模为的向量大小方向长度模零向量的向量相等向量方向且的向量相反向量方向且的向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，则称这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作共面向量平行于的向量叫共面向量模为相同模相等互相平行重合同平面相同模相等空间向量的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得共面向量定理如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯的有序实数对使空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任向量，存在有序实数组，使得其中，叫做空间的个基底知识点二空间向量的数量积及坐标运算空间向量的数量积空间向量，的数量积，空间向量，的夹角，的取值范围是，其中当时，和同向当时，和反向当时，⊥空间向量数量积的性质⊥⇔，