叫做向量和的数量积或内积，记作可见是实数，可以等于正数负数零其中叫做向量在方向上在方向上的投影向量数量积的运算律交换律分配律数乘结合律平面向量数量积的性质已知非零向量，性质几何表示坐标表示定义模或若则，⊥的充要条件夹角与的关系知识点二向量的应用向量数量积在点评解决本题的关键是准确的记忆与向量有关的公式方法数量积的应用应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的哪些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直夹角问题，用三角形法则模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题例已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题⇔⇔⇔⇔，其中的真命题是解题指导⇔⇔，将，展开并化成与有关的式子，解关于的不等式，得的取值范围解析⇔，而，解得同理，由⇔，可得，故命题，正确答案点评解决本题的关键是充分利用选择项中给出的向量模的关系，判断向量夹角的范围方法用向量方法解决平面几何问题用向量方法解决平面几何问题可分三步建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离夹角等问题把运算结果“翻译”成几何关系例湖南卷改编已知，是单位向量若向量满足，则的最大值为解题指导突破根据条件转化到平面直角坐标系中突破把条件坐标化突破把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程突破利用圆的知识求解析建立如图所示的直角坐标系，由题意知⊥，且与是单位向，可设，即点，的轨迹是以，为圆心，为半径的圆而，的最大值为，即答案点评平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域不等式的解集方程有解等问题，然后利用函数不等式方程的有关知识来解决本题采用了“形化”与“数化”的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决第二节平面向量的数量积及其应用考点梳理考纲速览命题解密热点预测向量的数量积平面向量的夹角平面向量的模平面向量的创新性问题理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系会用向量方法解决些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他些实际问题结合向量向量数量积知识考查夹角向量模及范围，与数学其他章节知识相联系，求参数范围及最值问题是高考热点向量的加减运算及其几何意义利用平面向量基本定理进行向量坐标运算以及平面向量的数量积运算几何意义模与夹角垂直问题是年高考的热点，向量与函数三角函数不等式解析几何综合是高考命题的大趋势知识点平面向量的数量积两个向量的夹角定义已知两个非零向量和，作则称作向量与向量的夹角，记作范围向量夹角的范围是，且向量垂直如果，则与垂直，记作，⊥平面向量的数量积平面向量的数量积的定义叫做向量和的数量积或内积，记作可见是实数，可以等于正数负数零其中叫做向量在方向上在方向上的投影向量数量积的运算律交换律分配律数乘结合律平面向量数量积的性质已知非零向量，性质几何表示坐标表示定义模或若则，⊥的充要条件夹角与的关系知识点二向量的应用向量数量积在几何中的应用证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行共线的充要条件⇔⇔证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件⊥⇔⇔求夹角问题求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模或向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运