知识点二直接证明与间接证明直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是和综合法般地，利用已知条件和些数学定义定理公理等，经过系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法又称为顺推证法分析法般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定个明显成立的条件已知条件定理定义公理等为止，这种证明方法叫做分析法分析法又称为逆推证法综合法分析法由因导果法执果索因法间接证明反证法般地，假设原命题即在原命题的条件下，结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法不成立假设错误原命题成立知识点三数学归纳法数学归纳法的定义当取第个值时，证明命题成立假设当，时命题成立，并证明当时，命题也成立于是命题对切命题都成立这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下当时，验证命题成立假设，时命题成立，推证时，命题也成立，从而推出对所有的从开始的正整数命题成立两个步骤体现了递推思想，第步是递推基础，也叫归纳奠基第二步是递推的依据，也叫归纳递推，两者缺不可方法推理问题归纳推理是由部分到整体由特殊到般的推理，由归纳推理所得的结论不定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的般性命题也会越可靠，它是种发现般性规律的重要方法类比推理是由特殊到特殊的推理，其般步骤为找出两类事物之间的相似性或致性用类事物的性质去推测另类事物的性质，得出个明确的命题猜想类比推理的关键是找到合适的类比对象，平面几何中的些定理公式结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论例广州模拟已知数列为等差数列，若，，则类比等差数列的上述结论，对于等比数列，，若，，则可以得到因为所以，从而所要证明的不等式成立设由对数的换底公式得，于是，所要证明的不等式即为其中，故由成立知成立点评分析法和综合法各有优缺点实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来方法数学归纳法的应用用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是几由到时，除等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明例已知的三边长都是有理数求证是有理数求证对任意正整数，是有理数解题指导利用余弦定理求得，再根据三边长为有理数可得结论用数学归纳法证明即可证明由为有理数及余弦定理知是有理数用数学归纳法证明和都是有理数当时，由知是有理数，从而有也是有理数假设当时，和都是有理数当时，有由和归纳假设，知与都是有理数即当时，结论成立综合可知，对任意正整数，是有理数点评由到的证明中寻找由到的变化规律是难点，突破难点的关键是掌握由到的证明方法方法反证法证明数学问题反证法的适用范围否定性命题结论涉及“至多”“至少”“无限”“唯”等词语的命题命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明要讨论的情况很复杂，而反面情况很少例设直线其中实数，满足证明与相交证明与的交点在椭圆上解题指导采用反证法，先假设与不相交，之后推出矛盾求出交点坐标，代入椭圆方程验证证明假设与不相交，则与平行或重合，有，代入，得这与为实数的事实相矛盾，从而，即与相交由方程组解得交点的坐标，为，从而，所以与的交点，在椭圆上点评第步分清命题“⇒”的条件和结论第二步作出与命题结论相矛盾的假定綈第三步由和綈出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假设綈不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题“⇒”为真第五节推理与证明考点梳理考纲速览命题解密热点预测合情推理与演绎推理直接证明与间接证明数学归纳法了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行些简单推理了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法了解分析法和综合法的思考过程特点了解间接证明的种基本方法反证法了解反证法的思考过程特点了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明些简单的数学命题主要考查类比推理和归纳推理的应用与其它知识交汇考查直接证明与间接证明用数学归纳法来证明与正整数有关的命题等预测高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数数列不等式解析几何等综合命题数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的种严格的推理方法考查“归纳猜想证明”的模式，常与数列结合考查知识点合情推理与演绎推理推理定义推理是根据个或几个已知的判断来确定个新的判断的思维过程分类推理般分为与两类合情推理演绎推理合理推理归纳推理类比推理定义由类事物的具有些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出的推理由两类对象具有和其中类对象的些已知特征，推出另类对象也具有这些特征的推理全部对象部分对象般结论些类似特征特点由到由到的推理由到的推理般步骤通过观察个别情况发现些相同性质从已知的相同性质中推出个明确的般性命题猜想找出两类事物之间的相似性或致性用类事物的性质去推测另类事物的性质，得出个明确的命题猜想部分整体个别般特殊特殊演绎推理定义从出发，推出下的结论，我们把这种推理称为演绎推理特点演绎推理是由的推理模式三段论“三段论”是演绎推理的般模式，包括“三段论”的结构大前提已知的般原理小前提所研究的特殊情况结论根据般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”的表示大前提小前提结论是般性的原理个特殊情况般到特殊是是知识点二直接证明与间接证明直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是和综合法般地，利用已知条件和些数学定义定理公理等，经过系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法又称为顺推证法分析法般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定个明显成立的条件已知条件定理定义公理等为止，这种证明方法叫做分析法分析法又称为逆推证法综合法分析法由因导果法执果索因法间接证明反证法般地，假设原命题即在原命题的条件下，结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法不成立假设错误原命题成立知识点三数学归纳法数学归纳法的定义当取第个值时，证明命题成立假设当，时命题成立，并证明当时，命题也成立于是命题对切命题都成立这种证明方法叫做数学归纳法数学归