知识点二等比数列的前项和及性质等比数列的前项和公式当公比时当公比时，等比数列的性质已知数列是等比数列，是其前项和若，则数列„仍是等比数列数列，„仍是等比数列此时的公比名师助学本部分知识可以归纳为三个定义等比数列的定义，等比中项的定义，等比数列的通项公式两种方法证明数列是等比数列的两种方法定义法，等比中项法两个公式等比数列的前项和公式，方法等比数列的性质的应用等比数列的单调性设等比数列的首项为，公比为当或，时，数列为递减数列当时，数列是非零常数列当时，数列是摆动数列等比数列项的运算性质若种方法常用于选择填空题中的判定例设数列的前项和为，已知，设，证明数列是等比数列在的条件下证明是等差数列，并求解题指导利用，寻找与的关系先求，再证明数列是等差数列，最后求证明由，及，有由知当时，有得，又是首项，公比为的等比数列解由可得数列是首项为，公差为的等差数列点评在证明本题时，首先利用转化的思想，把转化为与的关系，然后作商或，在作商时，无论使用，还是，都要考虑比值中是否包含了这项，这是很容易被忽视的地方方法等差与等比数列的综合问题在等差数列中蕴含等比关系，由等差数列设出数列的项突出利用等比数列列方程求解，同样等比数列中蕴含等差关系也如此解决两个数列，个是等差数列，另个是等比数列，要找到它们之间的联系，来解决实际问题解题时适当利用性质转化条件可简化运算挖掘隐含条件，发现等差或等比关系，使解题目的明确例成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上后成为等比数列中的求数列的通项公式数列的前项和为，求证数列是等比数列解题指导设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差，从而求出数列的首项公比利用等比数列的定义可解决第问解设成等差数列的三个正数分别为，依题意，得，解得所以中的依次为依题意，有，解得或舍去故的第项为，公比为由，即，解得所以是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为证明数列的前项和，即所以，因此是以为首项，为公比的等比数列点评关于等差比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件容易出现的问题主要有两个方面是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断二是不能灵活运用等差比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量第三节等比数列及其前项和考点梳理考纲速览命题解密热点预测等比数列的计算等比数列的前项和等比数列的性质理解等比数列的概念掌握等比数列的通项公式与前项和公式能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题了解等比数列与指数函数的关系以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定及通项公式前项和公式以及性质的应用综合等比数列的通项公式前项和以及利用性质解题仍将是命题的热点，非“标准”的等比数列可能成为命题的新生长点此外，与其他知识的综合也值得关注知识点等比数列的概念等比数列的定义条件个数列从第项起每项与它的前项的比等于公比是指常数，通常用字母表示定义表达式，同个常数等比数列的通项公式若等比数列的首项是，公比是，则其通项公式为推广式等比中项如果成等比数列，那么叫做与的等比中项，即是与的等比中项⇔成等比数列⇒知识点二等比数列的前项和及性质等比数列的前项和公式当公比时当公比时，等比数列的性质已知数列是等比数列，是其前项和若，则数列„仍是等比数列数列，„仍是等比数列此时的公比名师助学本部分知识可以归纳为三个定义等比数列的定义，等比中项的定义，等比数列的通项公式两种方法证明数列是等比数列的两种方法定义法，等比中项法两个公式等比数列的前项和公式，方法等比数列的性质的应用等比数列的单调性设等比数列的首项为，公比为当或，时，数列为递减数列当时，数列是非零常数列当时，数列是摆动数列等比数列项的运算性质若，则特别地，当时对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即„„等比数列前项和的性质若是等比数列的前项和，则当时„成等比数列例已知各项均为正数的等比数列中