二项分布又叫重复试验，伯努利试验符号表示，概率分布列注意„„热点与计数原理有关的问题例江苏卷设整数是平面直角坐标系中的点，其中，，„记为满足的点的个数，求记为满足是整数的点的个数，求解点的坐标满足条件，所以设为正整数，记为满足条件以及的点的个数，只要讨论的情形由知，且，设，其中，，则，所以，将代入上式，化简得，所以，是整数不是整数探究提高此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算训练南通调研记，„，满足下列性质的排列，„，的个数为，性质排列„，中有且只有个„，求求解当时，的所有排列有其中满足仅存在个，使得的排列有所以在„，的所有排列„，中，若，从个数，„，中选个数按从小到大顺序排列为„其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为若，则满足题意的排列个数为综上，从而热点二数学归纳法的应用例江苏卷已知集合„，，设，整即因为，，所以因此当时，等式也成立综合ⅰ，ⅱ可知等式对所有的都成立令，可得所以热点三随机变量的分布列及其数学期望例泰州调研设ξ为随机变量，从棱长为的正方体的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积求概率ξ求ξ的分布列，并求出数学期望ξ解从正方体的八个顶点中任取四个点，共有种不同取法其中共面的情况共有种个侧面，个对角面，则ξ任取四个点，当四点不共面时，四面体的体积只有以下两种情况四点在相对面且异面的对角线上，体积为这样的取法共有种四点中有三个点在个侧面上，另个点在相对侧面上，体积为这样的取法共有种ξ的分布列为ξ数学期望ξ探究提高求解般的随机变量的期望和方差的基本方法是先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算训练苏锡常镇调研甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响甲同学决定投次，乙同学决定投中次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过次求甲同学至少有次投中的概率求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望解设甲同学在次投篮中，恰有次投中，“至少有次投中”的概率为，则由题意ξξ，ξ，ξ，ξ，ξξ的分布表为ξξ的数学期望ξ分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题通常与数列不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力，要了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用离散型随机变量在范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和求解离散型随机变量的数学期望的般步骤为第步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义第二步是“探求概率”，即利用排列组合枚举法概率公式常见的有古典概型公式几何概型公式互斥事件的概率和公式事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等，求出随机变量取每个值时的概率第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确第四步是“求期望值”，般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值第讲计数原理数学归纳法随机变量及其分布列高考定位高考对本内容的考查主要有分类加法计数原理分步乘法计数原理，级要求排列与组合，级要求数学归纳法的简单应用，级要求次重复试验的模型及二项分布离散型随机变量的均值与方差，级要求真题感悟江苏卷盒中共有个球，其中有个红球个黄球和个绿球，这些球除颜色外完全相同从盒中次随机取出个球，求取出的个球的颜色相同的概率从盒中次随机取出个球，其中红球黄球绿球的个数分别记为，随机变量表示中的最大数，求的概率分布和数学期望解取到的个颜色相同的球可能是个红球个黄球或个绿球，所以随机变量所有可能的取值为表示的随机事件是“取到的个球是个红球”，故表示的随机事件是“取到的个球是个红球和个其他颜色的球，或个黄球和个其他颜色的球”，故于是所以随机变量的概率分布如下表因此随机变量的数学期望考点整合两种计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理排列排列的定义排列数公式„！！组合组合的定义组合数公式„！！！！组合数性质数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步，第步是归纳奠基或递推基础，证明当取第个值时命题成立，第二步是归纳递推或归纳假设，假设，时命题成立，证明当时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从开始的所有的正整数都成立，两步缺不可概率随机变量及其分布离散型随机变量及其概率分布的表示离散型随机变量所有取值可以列出的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量概率分布的表示法概率分布列和概率分布表性质，„，„特殊的概率分布列分布两点分布符号表示分布超几何分布符号表示概率分布列二项分布又叫重复试验，伯努利试验符号表示，概率分布列注意„„热点与计数原理有关的问题例江苏卷设整数是平面直角坐标系中的点，其中，，„记为满足的点的个数，求记为满足是整数的点的个数，求解点的坐标满足条件，所以设为正整数，记为满足条件以及的点的个数，只要讨论的情形由知，且，设，其中，，则，所以，将代入上式，化简得，所以，是整数不是整数探究提高此计数原理问