二反证法的适用范围反证法不是直接证明命题结论正确，而是利用“原命题的否定不成立，则原命题定成立”来进行证明的因而如果结论的反面比结论本身更具体更明确更简单，则适宜用反证法反证法证题主要有以下几种类型唯性命题的证明可考虑使用反证法当命题中涉及“至少”“至多”“无限”时，可考虑使用反证法直接证明较繁琐或较困难时，可考虑使用反证法当问题的结论是以否定形式出现的否定性命题时，可考虑使用反证法结论的反面为简单明确的命题，可考虑使用反证法证明不论取任何非零实数，等式总不成立证明假设存在非零实数，使得等式成立，则有，从而得出矛盾，故原命题成立课堂典例探究用反证法证明存在性命题证明二次函数是互不相同的实数它们的图象至少有个与轴有两个交点解析假设三个图象都不与轴有两个交点则三个式子相加得，与已知矛盾所以三个图象至少有个与轴有两个交点方法总结反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何种可能，反证法都是不完全的对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法若均为实数，且求证中至少有个大于证明假设都不大于，即，则而，且，这与矛盾，因此中至少有个大于用反证法证明唯性命题求证过直线外点有且只有条直线与这条直线平行证明已知点在直线外求证过点与直线平行的直线有且只有条证明点在直线外，点和直线确定个平面，设该平线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从而肯定原命题正确解析由题意得，直线的斜率为，同理假设四边形为平行四边形，则有，即有，由，得，从而有，则同理，点重合点重合，这与，为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立四边形不可能是平行四边形方法总结当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题时，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾给定实数，且，设函数且，求证经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于轴证明假设此函数图象上存在两点使得直线平行于轴设且，则由得解得，这与已知条件矛盾，故假设不成立，原命题成立，即经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于轴反证法思想的应用已知下列三个方程至少有个方程有实根，求实数的取值范围分析此题若采用正面讨论将复杂得多，应采用补集与反证法思想来求解析若方程没有个有实根，则解之得故三方程至少有个方程有实根的的取值范围是或方法总结本题用到了反证法，还用到了“判别式法”“补集法”全集，也可从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集，这两种解法，要求对不等式解集的交并补集概念和运算理解透彻对于定义在实数集上的函数，如果存在实数，使，那么叫做函数的个好点已知函数不存在好点，那么的取值范围是，，，答案解析解法由题意知，即，即无实数解解法若存在好点，则⇒或不存在好点时，的取值范围是，已知实数满足不等式，用反证法证明关于的方程无实根错解假设方程有实根，由已知实数满足不等式，解得，方程的判别式即关于的方程无实根辨析利用反证法进行证明时，首先要对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行推理，得到矛盾，从而证明原命题成立即反证法必须严格按照“否定推理否定”的步骤进行正解假设方程有实根，则该方程的判别式，解得或，而由已知实数满足不等式得，二者矛盾，所以假设错误，从而原方程无实根反证法反证法的定义了解反证法的证题步骤掌握成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修推理与证明第二章直接证明与间接证明第课时反证法第二章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习甲乙丙三人站成列，甲在前，丙在后，乙在中间有红黑顶帽子，现在随机抽取顶分别戴在甲乙丙三人头上只有站在后面的人才可以看见前面的人头上帽子的颜色让这三人各自猜自己头上帽子的颜色，结果丙先说不知道，然后乙也说不知道，最后甲猜出自己头上帽子的颜色是红色的你知道甲是怎么推理的吗命题有几种形式什么样的命题具有相同的真假性你知道如何将“他俩说的都对”否定吗答案命题有原命题否命题逆命题逆否命题四种形式，个命题和它的逆否命题具有相同的真假性他俩说的不都对反证法反证法的定义般地，由证明⇒转向证明⇒⇒„⇒，与假设矛盾，或与个真命题矛盾，从而判定为假，推出为真的方法，叫做反证法反证法的证题步骤注意的问题反证法中的“反设”是应用反证法的第步，也是关键的步“反设”的结论将是下步“归谬”的个已知条件“反设”是否正确全面，将直接影响下步的证明要做好“反设”必须正确分清题设和结论对结论实施正确的否定对结论否定时，找出其所有的分类情况在否定命题的结论时，当命题的结论的反面非常明显并且只有种情形时，比较容易作出否定，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易作出否定这时必须认真分析仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题的结论的假设即把“反设”作为个新的已知条件及原命题的条件出发，引用系列的论据进行正确推理，推出与已知条件定义定理公理等相矛盾的结果常见的“原结论词”与“假设词”原结论词只有个对所有成立对任意不成立假设词没有或至少有两个存在个不成立存在个成立原结论词都是定是或且假设词不都是定不是且且原结论词至少有个至多有个至少有个至多有个假设词个也没有不存在至少有两个至多有个至少有个已知，求证证明假设，则，从而，即，于是又此结论与已知矛盾，因此不成立，即二反证法的适用范围反证法不是直接证明命题结论正确，而是利用“原命题的否定不成立，则原命题定成立”来进行证明的因而如果结论的反面比结论本身更具体更明确更简单，则适宜用反证法反证法证题主要有以下几种类型唯性命题的证明可考虑使用反证法当命题中涉及“至少”“至多”“无限”时，可考虑使用反证法直接证明较繁琐或较困难时，可考虑使用反证法当问题的结论是以否定形式出现的否定性命题时，可考虑使用反证法结论的反面为简单明确的命题，可考虑使用反证法证明不论取任何非零实数，等式总不成立证明假设存在非零实数，使得等式成立，则有，从而得出矛盾，故原命题成立课堂典例探究用反证法证明存在性命题证明二次函数是互不相同的实数它们的图象至少有个与轴有两个交点解析假设三个图象都不与轴有两个交点则