化简上述方程，得关于的元二次方程，可求得确定利用点斜式得切线方程方法二设切点为则切线方程为建立方程组，，解方程组，得，从而得切线方程求过曲线上点，的切线方程求过曲线上点的切线方程时，该点未必是切点，故需先确定切点，若是切点，可按照在曲线上点切线方程的方法来求若不是切点或不能确定是否为切点，可以先设出切点坐标，然后按照过曲线外点的切线方程的方法来求注意利用导数研究切线问题是常考的问题，求解时，切点是关键，应该注意下面三个条件切点在切线上切点在曲线上切点横坐标的导函数值为切线的斜率求切线方程时，定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解若“在”，该点为切点，若“过”，该点不定是切点，若“过”曲线外的点，该点定不是切点已知点,为曲线上的点，为曲线的割线，若当时的极限为，则在点处的切线方程为答案解析由切线的定义，切线的斜率为，由点斜式得，即三妙用导数几何意义，求解四类热点问题“曲线在点，处的切线是曲线在该点处的切线斜率”，借助于导数的这几何意义，可以很好地解决相关的几何问题，这些问题是“数”与“形”的完美统，也是高考数学中的热点问题求切线的斜率或倾斜角求出函数在处的导数，由导数的几何意义，得其中为曲线在点，处的切线的倾斜角，进而求出特别地，若在处的导数不存在，而在处的切线存在，则此切线的倾斜角为已知曲线上点则在点的切线的倾斜角为答案解析，，过点，的切线的斜率为，故切线的倾斜角为求切线方程求曲线在点，的切线方程的般步骤是求出函数在处的导数利用直线的点斜式，得出切线方程为若求曲线过点，的切线，可先设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点的坐标，从而得到切线方程求切点的坐标设切点坐标为根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行垂直等条件求出切点的坐标求切点坐标的般思路先设切点坐标求导函数求切线的斜率由斜率间的关系列出关于的方程，解方程求由于点，在曲线上，将代入求得切点坐标已知曲线的条切线的斜率为，则切点的横坐标为答案解析设切点的横坐标为，，而切线的斜率为，则切点的横坐标为，故选求三角形面积利用导数的几何意义，求切线与其他曲线形成的几何图形面积，特别是三角形面积，是高考的个常考点作出草图，数形结合是解决此类问题的有效方法曲线在点，的切线与轴直线所围成的三角形的面积为，则答案，点处的切线的斜率等于在点处的切线方程是，即方法总结求函数图象上点处的切线方程的步骤先求出函数在点，处的导数即过点的切线的斜率，再用点斜式写出切线方程求曲线在点，处的切线的斜率，并写出切线方程解析，切线的斜率切线方程为，即求切点坐标在曲线上过哪点的切线，平行于直线垂直于直线与轴成的倾斜角分析设切点坐标为根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行垂直的条件求出切点坐标解析设，是满足条件的点因为切线与直线平行，所以，即,因为切线与直线垂直，所以，得即，因为切线与轴成的倾斜角，所以其斜率为，即，得即，方法总结注意利用解析几何中有关两直线平行垂直的条件已知直线和曲线相切求切点的坐标求的值解析设直线与曲线相切于，点，由题意可知即，解得或切点的坐标为，或,当切点为，时，有，当切点为,时，有，所求的的值为，切点为，切点为,导数的几何意义的综合应用求曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积分析由题意知，只要求出两曲线的交点坐标及切线方程，再结合三角形的面积公式就能求出解析联立两曲线方程得解得即交点坐标为,曲线在点,的切线斜率为，所以曲线在点,的条切线方程为，即同理，曲线在点,的切线斜率为所以曲线在点,的切线方程为，即两条切线方程和与轴所围成的图形如图所示，所以，故三角形的面积为方法总结本题将曲线的切线与求三角形的面积相联系，要作出草图帮助分析三角形的位置，从而顺利解题曲线在处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程若不存在，请说明理由解析令，当无限趋近于时，无限趋近于常数，这说明割线会无限趋近于个极限位置，即曲线在处的切线存在，此时切线的斜率为无限趋近于，又曲线过点故切线方程为方法总结在点,处的切线是轴，符合切线定义这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中点也可能相切如图所示对于曲线在点处的切线有下面的情形若当无限趋近于时的极限不存在时，可分两种情况其是趋近于，则切线的斜率不存在，但切线存在为垂直于轴的直线其二是既不趋近于常数也不趋近于，则此时切线不存在求抛物线过点，的切线方程错解，抛物线过点，的切线的斜率为由直线方程的点斜式，得切线方程为，即辨析应先判断点是否在曲线上，点不在曲线上误认为在曲线上而产生错解正解设切线过抛物线上的点由导数的意义知此切线的斜率为又因为此切线过点，和点其斜率应满足解得或切线方程为或化简得或导数的几何意义导数的几何意义理解几何意义的应用掌握求切线的倾斜角斜率求切线方程求切点坐标求三角形面积综合应用成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修导数及其应用第章导数第课时导数的几何意义第章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出实际上物体看作质点做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题函数在处导数的定义是什么过定点，且斜率为的直线点斜式方程是什么若斜率不存在呢在初中学过的圆的切线定义是什么答案斜率为且过定点，的直线点斜式方程为如果直线的斜率不存在，则直线的方程为直线和圆有唯公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯的公共点叫做切点导数的几何意义设函数的图象如图所示是过点，与点，的条割线，当点沿曲线向移动时割线逐渐变化，最终变为切线在此过程中割线斜率最终变为切线斜率，即，由导数的意义知，曲线在点，的切线斜率为注意曲线与其上点处的切线可能不止个公共点，此点与初中学过的圆的切线不同，把圆的切线定义盲目推广到般曲线的切线不妥当的如图所示的曲线，直线虽然与曲线有唯的公共点，但不能说直线与曲线相切而直线尽管与曲线有不止个公共点，但我们还是说直线是这条曲线在点处的切线教材用割线的极限位置上的直线来定义切线“当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动„„”，许多同学容易忽视“沿曲线”而说成“当点趋近于点时”，这就不准确了函数在点处导数的几何意义是曲线在点，切线的斜率，也就是说，曲线在点，切线的斜率等于，即还应注意以下两点若曲线在点，的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直如在处有切线，但函数在此点不可导若，切线的倾斜角为锐角若，切线的倾斜角为钝角若，切线与轴平行下面说法正确的是若不存在，则曲线在点，没有切线若曲线在点，有切线，则必存在若不存在，则曲线在点，的切线斜率不存在若曲线在点，没有切线，则有可能存在答案解析若不存在，则曲线在处切线斜率不存在，但切线有可能存在，故排除若切线与轴垂直，则不存在，故排除若在处没有切线，则定不存在，排除故只有正确二曲线的切线方程问题求曲线在其上点，的切线方程若曲线在点，的切线的斜率存在，则斜率，切线方程为若曲线在点，的切线斜率不存在，则切线方程为此时也不存在过不在曲线上点，的切线方程的求法方法设切点为则，切线斜率由，得方程化简上述方程，得关于的元二次方程，可求得确定利用点斜式得切线方程方法二设切点为则切线方程为建立方程组，，解方程组，得，从而得切线方程求过曲线上点，的切线方程求过曲线上点的切线方程时，该点未必是切点，故需先确定切点，若是切点，可按照在曲线上点切线方程的方法来求若不是切点或不能确定是否为切点，可以先设出切点坐标，然后按照过曲线外点的切线方程的方法来求注意利用导数研究切线问题是常考的问题，求解时，切点是关键，应该注意下面三个条件切点在切线上切点在曲线上切点横坐标的导函数值为切线的斜率求切线方程时，定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解若“在”，该点为切点，若“过”，该点不定是切点，若“过”曲线外的点，该点定不是切点已知点,为曲线上的点，为曲线的割线，若当时的极限为，则在点处的切线方程为