图象是条连续不间断的曲线，则该函数在，上定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得例如，如图，曲线为函数的图象，定义域为则易得，是极大值，是极小值，比较极大值及端点的函数值知函数的最大值是，比较极小值及端点的函数值知函数的最小值是注意求可导函数在，上的最大值，最小值步骤求在开区间，内所有使的点计算函数在区间内使的所有点和端点的函数值，其中最大的个为最大值，最小的个为最小值若函数在闭区间，上是单调函数，则可直接利用单调性法求函数的最值，即若在，上递增，则的最大值为，最小值为若在，上递减，则的最大值为，最小值为极值与最值的关系函数的最值是个整体性的概念函数极值是函数在点及其附近的局部性概念，具有相对性而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较函数在个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有个，具有唯性，而极大值和极小值可能多于个，也可能没有，例如常数函数就既没有极大值也没有极小值极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不定有最值，有最值的也未必有极值极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值开区间上的连续函数不定有最值例如在区间,上是连续的，如图，但在该区间上，函数既没有最大值也没有最小值求函数的最值与函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为零的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可下列结论正确的是在区间，上，函数的极大值就是最大值在区间，上，函数的极小值就是最小值在区间，上，函数在和时取得最大值和最小值般地，在区间，上连续的函数在，上必有最大值和最小值答案解析由于函数在给定的闭区间上不定有极值，但必有最值，且最值有可能在端点处取得，也有可能在极值点取得，因此前三个选项都不正确三函数极值与最值的应用技巧确定参数的值，这里般用待定系数法求参数的取值范围，运用化归与转化的思想方法判断方程根的变化这里般是利用数形结合的思想来讨论方程的根，即先根据函数极值的情况画出函数的草图，再观察方程的根，或转化为函数的零点问题证明不等式这里般是先构造函数，再根据函数的最值来证明不等式求含参数的值域问题时，通常对参数进行分类讨论如图所示，三次函数在区间,上有极大值和极小值，求常数的取值范围解析，在区间,上有极大值与极小值，即在区间,上有两个相异的实根，方程在区间,上有两个相异的实根，则，，课堂典例探究求函数的极值求函数的极值分析本题主要考查求函数极值的方法解决本题的关键是求出导数为零的点，判断函数在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反解析令，解得，当变化时的变化情况如下表，时，取得极小值，求这个极小值及的值解析据题意是方程的两个根，由韦达定理得极小值极小值为，函数的最大值与最小值求函数在区间,上的最大值与最小值分析首先求在,内的极值，然后将的各极值与，比较，其中最大的个是最大值，最小的个是最小值解析令，有，解得，当变化时，的变化情况如下表,，，从上表可知，最大值是，最小值是方法总结注意比较求函数的最值与求函数极值的不同求函数在区间,上的最值解析，令，即，得或，又，舍去，该函数在区间,上的最大值为，最小值为含参数的最值问题已知函数，问是否存在实数使在,上取最大值，最小值，若存在，求出，的值若不存在，说明理由分析利用求最值的方法确定的值，注意对的讨论解析显然令，解得，舍去当时，当变化时，的变化情况见下表最大值所以当时，取得最大值，所以又，所以当时，取得最小值即当所以当时，取得最大值，即，即综上所述，或，方法总结本题综合运用求极值最值的方法确定参数，注意对的讨论和最大最小值的确定设函数在，处取得极值，且若，求的值若，求的关系及的取值范围解析由已知得当时，由题意知，是方程的两根，所以又因为，得由式及题意知，是方程的两实根，所以从而⇔，所以即的取值范围是,利用函数最值处理不等式问题设函数在及处取得极值求，的值对于任意的都有成立，求的取值范围分析解答本题首先由，是的两根，求出，的值再求出在,上的最大值，从而解出的值解析，又在及处取得极值，由解得若对于任意的都有成立，只需在,上的最大值小于即可又当或时当变化时的变化情况如下表,极大值极小值可知在,上的最大值为，所以的取值范围是，，方法总结利用转化的思想把恒成立问题转换为最值问题注意求函数最值常用的方法单调性法求导法为更清楚地判断极值或最值情况，可结合列表法进行例中改为“若对任意的,都有成立，求的取值范围”，如何解答解析由例题可知，若对任意的都有成立，只需在,上的最小值大于即可又当或时当变化时的变化情况如下表,极大值极小值可见函数在,上的最小值为，恒成立，等价于，解得已知在时有极值为，求常数，的值错解因为在时有极值为，且，所以，，即，解得或，因此常数时时，成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修导数及其应用第章导数的应用第课时利用导数研究函数的极值第章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习苏轼题西林壁中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢如何利用导数求函数的单调区间函数最大值最小值的定义是什么答案在函数定义域内，由可得函数的增区间，由可得函数的减区间设的定义域为，若存在实数满足∀，都有，且存在，使得，则称是的最大小值函数的极值函数极值的概念已知函数，设是定义域，内任点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极小值，记作极小，并把称为函数的个极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点注意函数的极值只是个局部性的概念，是仅对点及左右两侧区域而言的在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不定比极小值大，如图，点是极大值点，是极小值点，且在点处的极大值小于在点上处的极小值极值点是自变量的值，极值指的是函数值函数的极值点定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点若在，内有极值，那么在，内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值极值与导数的关系如图，若是极大值点，则在的左侧附近只能是增函数，即，在的右侧附近只能是减函数，即如图，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即综合以上情形，可以得到若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值若在的两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值若在的两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值注意可导函数的极值点必须是导数为的点，但导数为的点不定是极值点即“点是可导函数的极值点”是的充分不必要条件不可导的点可能是极值点也可能不是极值点例如导数为的点是极值点是极值点导数为的点不是极值点不是极值点不可导的点是极值点，不可导，但是极值点利用导数求函数极值的方法步骤求导数求方程的所有实数根观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化如果的符号由正变负，则是极大值如果由负变正，则是极小值如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点是函数在处取得极值的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件答案解析当时，必须在的左右两侧异号才能在处取得极值反之，当函数在处取得极值时，也可能在处不存在导数，所以也不定有所以是函数在处取得极值的既不充分也不必要条件，故选二函数的最大值与最小值利用导数求函数最值的方法函数在闭区间，上的图象是条连续不间断的曲线，则该函数在，上定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得例如，如图，曲线为函数的图象，定义域为则易得，是极大值，是极小值，比较极大值及端点的函数值知函数的最大值是，比较极小值及端点的函数值知函数的最小值是注意求可导函数在，上的最大值，最小值步骤求在开区间，内所有使的点计算函数在区间内使的所有点和端点的函数值，其中最大的个为最大值，最小的个为最小值若函数在闭区间，上是单调函数，则可直接利用单调性法求函数的最值，即若在，上递增，则的最大值为，最小值为若在，上递减，则的最大值为，最小值为极值与最值的关系函数的最值是个整体性的概念函数极值是函数在点及其附近的局部性概念，具有相对性而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较函数在