上述过程通常也记作函数在点处的瞬时变化率通常称为在处的导数，这时，记作，即，也可记作对导数的理解应注意以下几点导数是研究函数在点处及其附近函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个局部性概念，若存在，则函数在处有导数，否则就没有导数并不是任何个函数在定义域中的点处均有导数例如在处不存在导数因为，所以当时，的极限不存在，从而在处的导数不存在若函数在处有导数，则时，存在个常数与无限地接近如果物体作运动方程为的直线运动的单位为，的单位为，那么其在末的瞬时速度为答案解析三导函数如果在开区间，内每点都是可导的，则称在区间，可导这样，对开区间，内每个值，都对应个确定的导数于是，在区间，内，构成个新的函数，这个函数称为的导函数，记为或或导函数通常简称为导数注意“函数在点处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系“函数在点处的导数”就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限有，它是个常数，不是变数导函数也简称导数，“在点处的导数”与“导函数”是个别与般的关系函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，所以求函数在点处的导数，般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值求导数的步骤由导数的定义知，求函数在点处的导数的步骤求函数值的增量求平均变化率取极限，得导数时，故物体在时刻时的瞬时速度为时，物体的瞬时速度为求函数在点处的导数求函数在处的导数分析可利用导数的定义和导函数的函数值法两种方法来解解析方法即在处的导数方法二即在处的导数方法总结求函数在点处的导数的思路直接利用导数定义，但要注意对式子的变形和约分，变形不彻底可能导致不存在，得出错误结论先求出导函数，再计算该点处的导数值用导数的定义，求函数在处的导数解析因为，所以导数概念的应用设函数在点处可导，试求下列各式的值分析在导数的定义中，增量的形式是多种多样的，但不论选择哪种形式，也必须选择相对应的形式利用函数在点处可导的条件，可以将已给定的式子恒等变形转化为导数定义的结构形式解析原式时，原式方法总结概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题不能准确分析和把握所给极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因，解决这类问题的关键就是恒等变形，使问题转化设函数在处可导，求下列各式的值解析求函数的导数错解，分母趋近于，所以此函数无导数辨析求导数要与代数式的变形结合起来，利用分子有理化的方法，最终约去分子上的根号正解导数的概念瞬时速度在点处导数即瞬时变化率导函数成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修导数及其应用第章导数第课时瞬时变化率与导数第章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”中国是世界上高速铁路发展最快系统技术最全集成能力最强运营里程最长运营速度最快在建规模最大的国家同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度怎样研究它的速度与路程的关系呢在平均变化率的定义中，自变量在处的增量是否可以为任意实数呢对于函数，若，平均变化率能否表示为答案在平均变化率的定义中，增量可正可负，但不能等于而可以为任意实数能若从变为，平均变化率为，若从变为，平均变化率为，而瞬时速度作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，物体在时刻的速度叫瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是，当趋近于时，函数在到这段时间内的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度对瞬时速度的理解要注意以下两点在平均变化率中，趋于是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为，在变化中都趋于，其比值趋近于个确定的常数，这时此常数才称为时刻的瞬时速度以初速度垂直上抛的物体，秒时的高度为，则物体在时刻的瞬时速度为答案解析因为，所以，所以当无限趋近于时，无限趋近于，故物体在时刻的瞬时速度为二瞬时变化率与导数设函数在附近有定义，当自变量在附近的改变量为时，函数值相应地改变如果当趋近于时，平均变化率趋近于个常数，那么常数称为函数在点处的瞬时变化率当趋近于时，趋近于常数，可以用符号读作“趋近于”记作当时，上述过程通常也记作函数在点处的瞬时变化率通常称为在处的导数，这时，记作，即，也可记作对导数的理解应注意以下几点导数是研究函数在点处及其附近函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个局部性概念，若存在，则函数在处有导数，否则就没有导数并不是任何个函数在定义域中的点处均有导数例如在处不存在导数因为，所以当时，的极限不存在，从而在处的导数不存在若函数在处有导数，则时，存在个常数与无限地接近如果物体作运动方程为的直线运动的单位为，的单位为，那么其在末的瞬时速度为答案解析