的切线过点则热点函数图象的切线问题微题型单考查曲线的切线方程解析设，由，得当时当时故为函数的极值点，切线斜率为，又，故切点坐标为切线方程为，即，处的切线方程为将，代入切线方程，得，解得答案探究提高求曲线的切线要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异，过点的切线中，点不定是切点，点也不定在已知曲线上，而在点处的切线，必以点为切点利用导数的几何意义解题，主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化以平行垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解例已知函数求在区间，上的最大值若过点，存在条直线与曲线相切，求的取值范围微题型综合考查曲线的切线问题解由得令，得或因为，，所以在区间，上的最大值为设过点，的直线与曲线相切于点则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此整理得，设，则“过点，存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”，当变化时，与的变化情况如下，所以，是的极大值，是的极小值当，即时，此时在区间，和，上分别至多有个零点，所以至多有个零点当，即时，此时在区间，和，上分别至多有个零点，所以至多有个零点当且，即时，因为所以分别在区间，和，上恰有个零点，由于在区间，和，上单调，所以分别在区间，和，上恰有个零点综上可知，当过点，存在条直线与曲线相切时，的取值范围是，探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第问中的切线过点，训练已知函数设，是函数图象上的点，求点处的切线方程证明过点，可以作曲线的三条切线解因为所以曲线在点，处的切线的斜率为所以切线方程为，即证明由知曲线在点，处的切线的方程为若切线过点则，即过点可作曲线的三条切线等价于方程设由题设知当时单调递增，所以在，有唯实根当时，令，则，在，单调递减，在，单调递增，所以所以在，没有实根综上，在有唯实根，即曲线与直线只有个交点探究提高研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性最大值最小值变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这工具在研究方程中的重要应用微题型从函数的零点角度考查例北京卷设函数求的单调区间和极值证明若存在零点，则在区间，上仅有个零点解函数的定义域为，由得由解得与在区间，上的变化情况如下表所以，的单调递减区间是，单调递增区间是，，在处取得极小值证明由知，在区间，上的最小值为因为存在零点，所以，从而，当时，在区间，上单调递减，且，所以是在区间，上的唯零点当时，在区间，上单调递减，且，所以在区间，上仅有个零点综上可知，若存在零点，则在区间，上仅有个零点探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域求导数，得单调区间和极值点画出函数草图数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况进而求解训练福州模拟已知函数，且在，上的最大值为求函数的解析式判断函数在，内的零点个数，并加以证明解由已知，得，且当，时，有，从而，在，上是增函数，又在，上的图象是连续不断的，故在，上的最大值为，即，解得综上所述得在，内有且只有两个零点证明如下由知从而，又在，上的图象是连续不断的，所以在，内至少存在个零点又由知在，上单调递增，故在，内有且只有个零点当，时，令由且在，上的图象是连续不断的，故存在使得由，知，时，有，从而在，内单调递减当，时即，从而在，内单调递增，故当，时，，故在，上无零点当，时，有，即，从而在，内单调递减又且的图象在，上连续不间断，从而在区间，内有且仅有个零点综上所述，在，内有且只有两个零点求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式，它的难点在于分清“过点的切线”与“在点处的切线”的差异突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点，的切线中，点不定是切点，点也不定在已知曲线上，而点，处的切线，必以点为切点，则此时切线的方程是我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解直线与函数图象的交点两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题第讲函数图象的切线及交点个数问题高考定位在高考试题的导数压轴题中，把求切线和研究函数的性质交汇起来是个命题热点两个函数图象的交点问题可以转化为个新的函数的零点问题，函数图象与函数零点是函数中的两个重要问题，在高考试题导数压轴题中涉及两个函数图象的交点问题是高考命题的另热点真题感悟山东卷设函数，已知曲线在点，处的切线与直线平行求的值是否存在自然数，使得方程在，内存在唯的根如果存在，求出如果不存在，请说明理由设函数表示，中的较小值，求的最大值解由题意知，曲线在点，处的切线斜率为，所以，又，所以时，方程在，内存在唯的根设，当，时，又，所以存在使得因为，所以当，时当，时所以当，时，单调递增，所以时，方程在，内存在唯的根由知方程在，内存在唯的根且，时，时所以，，，当，时，若若由，可知故当，时，由，可得，时单调递增，时单调递减可知，且综上可得，函数的最大值为考点整合求曲线的切线方程的三种类型及方法已知切点求过点的切线方程求出切线的斜率，由点斜式写出方程已知切线的斜率为，求的切线方程设切点通过方程解得，再由点斜式写出方程已知切线上点非切点，求的切线方程设切点利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程组解得，再由点斜式或两点式写出方程三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当时，函数值也趋向，因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可存在两个极值点，且的函数的零点分布情况如下的符号零点个数充要条件为极大值，为极小值个两个或者三个且为极小值，为极大值个两个或者三个且研究两条曲线的交点个数的基本方法数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图形交点个数得出答案函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数例陕西卷函数在其极值点处的切线方程为全国Ⅰ卷已知函数的图象在点，处的切线过点则热点函数图象的切线问题微题型单考查曲线的切线方程解析设，由，得当时当时故为函数的极值点，切线斜率为，又，故切点坐标为切线方程为，即，处的切线方程为将，代入切线方程，得，解得答案探究提高求曲线的切线要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异，过点的切线中，点不定是切点，点也不定在已知曲线上，而在点处的切线，必以点为切点利用导数的几何意义解题，主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化以平行垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解例已知函数求在区间，上的最大值若过点，存在条直线与曲线