探究五解析方程可化为𝑥𝑦,𝑐𝑎答案探究探究二探究三探究四探究五已知椭圆𝑥𝑦𝑚的个顶点为试求椭圆的长轴长,短轴长,焦点坐标,离心率及其余的顶点解,是椭圆𝑥𝑦𝑚的顶点,椭圆方程为𝑥𝑦长轴长,短轴长,焦点为离心率为𝑐𝑎,其余顶点为,探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究二利用椭圆的几何性质求标准方程利用椭圆的几何性质求标准方程,通常采用待定系数法,其步骤般是首先确定焦点位置,其次根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程组求得参数在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行讨论般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定其所在的坐标轴而已知椭圆的离心率长轴长短轴长焦距时,则不能确定焦点的位置典型例题求适合下列条件的椭圆的标准方程过点离心率焦距为,在轴上的个焦点与短轴两端点的连线互相垂直探究五探究探究二探究三探究四解当椭圆的焦点在轴上时,因为所以,从而,所以椭圆的标准方程为𝑥𝑦当椭圆的焦点在轴上时,因为所以𝑎𝑏𝑎,所以所以椭圆的标准方程为𝑦𝑥综上可知,所求椭圆的标准方程为𝑥𝑦或𝑦𝑥设椭圆的标准方程为𝑥𝑎𝑦𝑏,由已知,得则,故所求椭圆的标准方程为𝑥𝑦探究五探究探究二探究三探究四探究三与离心率有关的问题椭圆离心率及范围的求法椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量,它是椭圆的半焦距和长半轴长的比值由于的关系,这个比值可以通过三个量中的任意两个量来刻画在解决问题的过程中我们更多地用,描述,因此,求的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下定义法若给定椭圆的方程,则根据焦点位置确定求出,的值,利用公式𝑐𝑎直接求解方程法若椭圆的方程未知,则根据条件建立满足的关系式,化为关于,的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以的最高次幂,”探究五探究探究二探究三探究四典型例题已知椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏的离心率为,且长轴长为,过点,的直线与椭圆交于,两点求椭圆方程当直线的斜率为时,求的值当点恰好为线段的中点时,求直线的方程解由已知,得𝑐𝑎𝑎,𝑐椭圆方程为𝑥𝑦探究五探究探究二探究三探究四由已知可得直线的方程为,即,由𝑦得探究五探究探究二探究三探究四解法当垂直轴时,显然,不是的中点,故垂直轴不合题意当不垂直轴时,设的斜率为,则其方程为联立𝑥𝑦消去得若设则𝑘𝑘,由于的中点恰好为所以𝑥𝑥𝑘𝑘,解得探究五探究探究二探究三探究四代入式有解,所以直线的方程为,即解法二设则有𝑥𝑦两式相减得𝑥𝑥𝑦𝑦由于,是的中点,故从而于是直线的方程为,即经检验得直线与椭圆有两个交点,符合题意故直线的方程为探究五探究五易错辨析易错点忽视椭圆焦点的位置而致误典型例题若椭圆𝑥𝑘𝑦的离心率,则的值为错解由已知又𝑐𝑎,故𝑐𝑎𝑎𝑏𝑎𝑘𝑘,解得错因分析错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性,应分焦点在轴和轴上两种情况进行讨论探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四正解若焦点在轴上,即时解得若焦点在轴上,即时解得综上所述,或答案或探究五椭圆𝑥𝑏𝑦的个顶点为则其焦点坐标为解析由已知得,则椭圆方程为𝑥𝑦故焦点在轴上,且因此焦点坐标为答案已知椭圆中心在原点,个焦点为且长轴长是短轴长的倍,则该椭圆的标准方程是𝑥𝑦𝑥𝑦解析个焦点为焦点在轴上且又长轴长是短轴长的倍,即,即故选答案若个椭圆的长轴长短轴长焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是解析由已知得解得或舍𝑐𝑎答案已知椭圆𝑥上点,点为其左焦点,则的最大值为,最小值为解析由已知得故因此的最大值为,最小值为答案过椭圆𝑥𝑦的右焦点作条斜率为的直线与椭圆交于,两点,为坐标原点,则的面积为解析由已知可得直线方程为,联立方程得𝑥𝑦解得,故答案椭圆的简单几何性质课程目标学习脉络理解并掌握椭圆的范围对称性中点顶点长轴短轴离心率等几何性质,同时会分析,的几何意义会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形,并能根据几何性质解决些简单问题椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点轴长长轴长,短轴长焦点焦距对称性对称轴坐标轴,对称中心原点,离心率思考椭圆离心率是如何刻画椭圆的扁圆程度的提示椭圆的焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率记作𝑐𝑎𝑐𝑎由,知越接近,则越接近,从而𝑎𝑐越小,因此椭圆越扁反之越接近于,就越接近于,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆当且仅当时这时两个焦点重合,图形变成圆,方程为直线与椭圆的位置关系及判定设直线方程为,将直线方程与椭圆方程联立,消去得元二次方程位置关系解的个数的取值相交解相切解相离无解弦长公式设直线与椭圆的交点坐标分别为则𝑘𝑘思考求直线与椭圆相交的弦长时,是不是定要求出直线与椭圆的交点坐标提示不定由弦长公式可知,求弦长时无需求出交点坐标,只需方程联立,整理成关于或的元二次方程根据元二次方程根与系数的关系求出或,代入弦长公式即可探究探究二探究三探究四探究利用标准方程研究几何性质根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时,关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,从而准确求出进而求出椭圆的其他有关性质在椭圆的诸多基本量中,有些是与焦点所在的坐标轴无关的,如长轴长短轴长焦距离心率而有些则是与焦点所在坐标轴有关的,如顶点坐标焦点坐标等,在计算时应注意确定焦点位置典型例题椭圆的离心率为探究五解析方程可化为𝑥𝑦,𝑐𝑎答案探究探究二探究三探究四探究五已知椭圆𝑥𝑦𝑚的个顶点为试求椭圆的长轴长,短轴长,焦点坐标,离心率及其余的顶点解,是椭圆𝑥𝑦𝑚的顶点,椭圆方程为𝑥𝑦长轴长,短轴长,焦点为离心率为𝑐𝑎,其余顶点为,探究探究二探究三探究四探究五探究探究二探究三探究四探究二利用椭圆的几何性质求标准方程利用椭圆的几何性质求标准方程,通常采用待定系数法,其步骤般是首先确定焦点位置,其次根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程组求得参数在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行讨论般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定其所在的坐标轴而已知椭圆的离心率长轴长短轴长焦距时,则不能确定焦点的位置典型例题求适合下列条件的椭圆的标准方程过点离心率焦距为,在轴上的个