,得由,得解得,故当时,,否则与不平行⇔𝑎𝑎⇔𝑎𝑎,𝑎𝑎,考点考点考点考点知识方法易错易混方法当时,直线的方程为,直线的方程为,与不垂直,故不成立当时,直线的方程为,直线的方程为,不垂直于当且时,直线的方程为𝑎,直线的方程为𝑎,由𝑎𝑎,得方法二由,得⇒考点考点考点考点知识方法易错易混思考解含参数的直线方程有关问题时如何分类讨论解题心得当含参数的直线方程为般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意,的系数不能同时为零这隐含条件在判断两直线的平行垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练直线与直线平行,则的值为或或答案解析解析关闭方法当时,显然与不平行当时,因为,所以应满足𝑚𝑚且𝑚,解得或方法二若,需,解得或当或时,所以或为所求答案解析关闭考点考点考点考点知识方法易错易混已知直线则是“⊥”的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件答案解析解析关闭若,则显然两条直线垂直若⊥,则,或,因此,是“⊥”的充分不必要条件,故选答案解析关闭考点考点考点考点知识方法易错易混考点直线的交点问题例求经过两直线和的交点,且与直线垂直的直线的方程答案答案关闭解方法由方程组𝑥𝑦得𝑥即,⊥直线的方程为,即方法二直线过直线和的交点,可设直线的方程为,即与垂直,直线的方程为,即考点考点考点考点知识方法易错易混思考求两直线的交点坐标的般规律是什么解题心得求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点常见的三大直线系方程与直线平行的直线系方程是且与直线垂直的直线系方程是过直线与的交点的直线系方程为,但不包括考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练若三条直线,和相交于点,则答案解析解析关闭解方程组𝑥𝑦得𝑥则三条直线交于点,即,解得答案解析关闭考点考点考点考点知识方法易错易混过两直线和的段的中点,即,直线关于点的对称求直线关于点,的对称直线的问题,可从直线上任取两点,求出这两点关于的对称点,利用对称点在上,可得的方程,或依据上的任点,关于,的对称点,在上点关于直线的对称求已知点,关于已知直线的对称点,的坐标,般方法是依据是线段的垂直平分线,列出关于,的方程组,由“垂直”得方程,由“平分”得方程直线关于直线的对称此类问题般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况是已知直线与对称轴相交二是已知直线与对称轴平行考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练光线沿直线射入,遇直线后反射,求反射光线所在的直线方程解方法由𝑥𝑦得𝑥,𝑦反射点的坐标为,又取直线上点设关于直线的对称点由⊥可知,𝑦𝑥而的中点的坐标为𝑥点在上,𝑦考点考点考点考点知识方法易错易混由𝑦𝑥得𝑥,𝑦根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为考点考点考点考点知识方法易错易混方法二设直线上任意点,关于直线的对称点为则𝑦𝑦𝑥𝑥,又的中点𝑥𝑥,𝑦𝑦在上,则𝑦𝑦,由𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦可得点的横纵坐标分别为𝑥𝑦代入方程中,化简得,故所求反射光线所在的直线方程为考点考点考点考点知识方法易错易混对于两条直线的位置关系的判断或求解若直线斜率均存在且不重合,则定有⇔若直线斜率均存在,则定有⊥⇔中心对称问题点关于点的对称般用中点坐标公式解决直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程也可以利用所求直线上任点的对称点在已知直线上求解考点考点考点考点知识方法易错易混轴对称问题点关于直线的对称若两点,与,关于直线对称,般由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标,其中,直线关于直线的对称,若两直线平行,可用距离公式解决若两直线不平行,就转化为点关于直线的对称问题𝐴𝑥𝑥𝐵𝑦𝑦𝐶𝐴𝐵,考点考点考点考点知识方法易错易混运用两平行直线间的距离公式时,定要统两方程中,前的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的讨论直线的位置关系涉及含参类直线方程时,定不要遗漏斜率不存在斜率为等特殊情形“⊥⇔”适用于任意两条互相垂直的直线思想方法转化思想在对称问题中的应用若在直线上找点,使点到两定点,的距离之和最小,要看,两点相对直线的位置若,在直线的异侧,则直接连接,与直线的交点即为所求若,在直线的同侧,则需要找出或中个点关于直线的对称点,然后连接另点与对称点,连线与直线的交点即为所求若在直线上找点使到两定点,的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相反若,在直线的异侧,则需要利用对称转化若,在直线同侧,则,两点所在直线与的交点即是所求典例已知直线和两点,在直线上求点,使最小在直线上求点,使最大解设关于直线的对称点为则𝑛𝑚𝑛,解得𝑚故,为直线上的点,则,当且仅当三点共线时,取得最小值,为,点即是直线与直线的交点,解𝑥得𝑥,𝑦故所求的点的坐标为两点在直线的同侧,是直线上的点,则,当且仅当三点共线时,取得最大值,为,点即是直线与直线的交点,又直线的方程为,故所求的点的坐标为,解𝑦𝑥,𝑥𝑦得𝑥两条直线的位置关系考纲要求能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线其斜率分别为则有⇔特别地,当直线,的斜率都不存在时,与平行或重合两条直线垂直如果两条直线,斜率都存在,设为则⊥⇔,当条直线斜率为零,另条直线斜率不存在时,两条直线垂直两直线相交直线和的公共点的坐标与方程组的解对应相交⇔方程组有唯解,交点坐标就是方程组的解平行⇔方程组无解重合⇔方程组有无数个解𝐴𝑥𝐵𝑦𝐶,𝐴𝑥𝐵𝑦𝐶平面直角坐标系中的距离公式两点间的距离公式若两点,的坐标分别为则有两点,间的距离公式𝑥𝑥𝑦𝑦点到直线的距离公式点,到直线的距离𝐴𝑥𝐵𝑦𝐶𝐴𝐵两条平行线间的距离公式两条平行直线,间的距离𝐶𝐶𝐴𝐵下列结论正确的打,错误的打“”如果直线与直线互相平行,那么这两条直线的斜率相等如果直线与直线互相垂直,那么它们的斜率之积定等于点,到直线的距离为直线外点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离已知直线为常数,若直线⊥,则𝑘𝑥𝑏𝑘过点,且与直线平行的直线方程是答案解析解析关闭设所求直线方程为,将,代入得故所求直线方程为答案解析关闭已知直线过圆的圆心,且与直线垂直,则的方程是答案解析解析关闭已知圆的圆心为直线的斜率为,则所求直线的斜率为,所以所求直线的方程为,即故选答案解析关闭已知点,到直线的距离相等,则的值为答案解析解析关闭由已知得解得或答案解析关闭或若直线与垂直,则答案解析解析关闭由两直线垂直的充要条件,得,解得或答案解析关闭或自测点评对于直线与直线相互平行垂直的条件定要注意其适用范围求解点到直线两平行线间的距离时,注意直线方程要用般式考点考点考点考点知识方法易错易混考点两条直线的平行与垂直例已知直线和试判断与是否平行当⊥时,求的值解方法当时,直线的方程为,直线的方程为,不平行于当时,直线的方程为,直线的方程为,不平行于当且时,两直线的方程可化为综上可知,时,,否则与不平行𝑎由,得𝑎𝑎,𝑎,解得考点考点考点考点知识方法易错易混方法二由,得由,得解得,故当时,,否则与不平行⇔𝑎𝑎⇔𝑎𝑎,𝑎𝑎,考点考点考点考点知识方法易错易混方法当时,直线的方程为,直线的方程为,与不垂直,故不成立当时,直线的方程为,直线的方程为,不垂直于当且时,直线的方程为𝑎,直线的方程为𝑎,由𝑎𝑎,得方法二由,得⇒考点考点考点考点知识方法易错易混思考解含参数的直线方程有关问题时如何分类讨论解题心得当含参数的直线方程为般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意,的系数不能同时为零这隐含条件在判断两直线的平行垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练直线与直线平行,则的值为