没有在实际的操作中去应用泰勒公式那么我们对于这个抽象的泰勒公式是很难去理解的。但是泰勒公式在数学分析中是很重要的组成部分因为它是微积分中逼近法精髓的体现，也是拉格朗日中值定理的推广。本论文主要研究三种不同形式的泰勒公式即带有拉格朗日型余项的泰勒公式带皮亚诺型余项的泰勒公式带积分型余项的泰勒公式这三种泰勒公式的应用，比如泰勒公式在求解极限的计算中的应用在不等式证明中的应用在函数性态中的应用在定积分计算中的应用在级数积分判敛中的应用在线性代数方面的应用。通过泰勒公式的各种应用，反过来再深入理解泰勒公式的本质和价值，进而体会函数逼近论的思想。希望通过这样的应用探索，让大家对泰勒公式的的理解达到更好的效果。关键词泰勒公式,不等式,极限计算,函数性态,定积分计算,线性代数前言大多数的时候，对于数学这门课程，我们常常会觉得我们是在重复次又次的步骤，重复着那样样的套路，所以我们就会觉得枯燥，就会感觉无聊，很多的时候在我们的印象中数学就是门相对于其他的学科而言比较不受学生欢迎的门学科，觉得很多的时候数学就是大堆的计算题，大堆的应用题，看见堆的数学符号我们就会觉得头痛，那大堆的数字，那大堆的数学运算符号常常会觉得数学实在是很难学习。数学这门学科，很多人认为是门相对于其他学科来说比较要求严谨和灵活并存的这样门学科，我们都知道数学是严谨的，但是我们也知道在数学方面有所追求的人，都会去寻求数学的多种解决方案，他们乐于享受这样的个过程，他们都会想要通过不同的方法去对这个式子进行运算的时候，把两个的高阶的无穷小的代数和仍旧表示成，所以泰勒公式在函数性态中的应用泰勒定理不仅是微分学中的经典而且是相当重要的定理之，因为它是般的函数与多项式函数能否联系起来起决定性作用的桥梁，众所周知在初等函数的里面，其中多项式函数是初等函数中最为简单的函数，这是因为多项式函数的运算方式只有加减乘这三种运算。这样，我们的计算就会省力很多。我们可以知道泰勒公式有着重要而广泛的应用，因为如果我们能够利用多项式函数去逼近我们的般函数，那么我们的数学运算也随之将会更加的简便，如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数去近似地进行替代，同时又可以达到我们的要求，那么这对我们对于函数性态的相关的计算起了很大的帮助。泰勒公式在判断级数的敛散性中的应用在级数的敛散性相关理论中，假如我们要判定个正项级数是收敛的还是发散的，我们的步骤般都是选择先找个相对而言较简单的级数，接下来再根据比较判定法来判定级数是收敛的还是发散的。那么如何来选取这个恰当的中的值就是我们实际的应用的里面最为困难的事情，假设,那么是收敛的，我们希望的是是个常数，但是很多时候，那么我们就不能用比较判别法去判断了。又假设,我们已经知道是发散的，但是，因此我们也不能用比较判别法去判定是收敛的还是发散的。为了能够更加正确地去选取中的值便于我们的比较，我们就想到可以利用泰勒公式研究级数的通项的阶，根据所得到的结果就可以选取合适的值使得的极限等于,并且满足，再使用极限形式的比较判别法就能够判定的敛散性了。例判断级数的敛散性。分析如果我们直观地由通项去判定该级数是否是正项级数会相对来说会困难些，那么我们也就不能够选择合适的判断敛散性的方法。注意到如果我们把它用泰勒展开为的幂的形式，我们发现将它开二次方后恰好与相对应，那么就会使得我们判断级数的敛散性更加的省力。解由于所以所以所以这个级数是个正项级数。那下面我们就来看这个正项级数是收敛的还是发散的。因为所以又因为的极限是收敛的，所以我们可以知道原级数也是收敛的通过正项级数的比较判别法。泰勒公式在判断积分的敛散性中的应用泰勒公式是元微积分的个基本理论,是微分学中值定理的推广，是微积分学中的个非常重要的内容。泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用中的实质其实是对无穷小量或者无穷大量的阶去进行估计，从而我们就可以简便有效地去判定积分的敛散性。般来说，我们在判断广义积分的敛散性的时候,我们通常会选择个广义积分进行比较，接下来通过研究无穷小量的阶来有效地选择中的值，这样我们就能够简单地去判定积分的敛散性因为注意到如果说判断出来是收敛的，那么我们所要判断的积分也是收敛的。例判定这个广义积分的敛散性。解由,我们可以得到因此，，即是的阶，大于，也就是说大于，所以我们可以得到积分收敛，所以积分也收敛，从而我们可以得到也是收敛的。泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用定理设为区间上的二阶可导函数若，那么在上为凸凹函数。证明设为区间内任意的两点,且,足够小。为,中的任意两点，记。由定理条件的泰勒公式,所以有,,因为余项是的高阶无穷小，而且,又是足够小的，所以泰勒公式,与同号，又因为所以有可得,,即所以由于,的任意性，可得在足够小的区间,上为凸凹函数，再根据和的任意性，可得函数在区间内任意个足够小的区间内部都是凸凹函数。上面的部分是函数凹凸性的定理和相应的证明过程，那么在凹凸性及拐点的判断中泰勒公式的应用到底是怎么样呢其实我们可以利用泰勒公式对函数极值进行判定，通过极值的判定，那么我们就可以直接推断出函数的拐点。下面我们来看个实际的应用例设在,上连续，在,上具有阶和二阶导数，若在,内，则在,上的图形是凹的。证明设为,内任意两点，且,足够小。为,中的任意两点，记由定理条件得泰勒公式的高阶无穷小，因为余项为,又为足够小，因为余项为的高阶无穷小又为足够小，所以泰勒公式中的符号与相同。,又因，所以可得，即可得，由,的任意性，我们可以得到在足够小的区间,上是凹向的，再有和的任意性可以得到在区间,内任意个足够小的区间内部都是凹向的，所以在区间,上是凹向的定理若在处可导，在邻域,内阶可导，并且满足，且则若为奇数，则,为曲线的拐点若为偶数，则,不是曲线的拐点。证明在处的泰勒公式,因为所以,余项同样是的高阶无穷小。因此当为奇数的时候,仍旧是奇数，在和上,符号相反，即的符号相反，所以,为曲线的拐点当为偶数时，仍为偶数，则在和上的符号相同，本科毕业论文届题目泰勒公式应用探索学院数学与信息科学学院专业统计学班级统计本姓名学号指导老师完成日期年月日文献综述泰勒公式的应用摘要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分逼近法的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛本课题主要研究三种不同形式的泰勒公式的各种应用，比如泰勒公式在求极限计算不等式证明函数性态定积分计算级数积分判敛线性代数等方面的应用。通过泰勒公式的各种应用，反过来再深入理解泰勒公式的本质和价值，进而体会函数逼近论的思想。关键词泰勒公式不等式证明积分敛散性高等数学凹凸性拐点函数极限引言泰勒公式是高等数学中的个重要内容，在代数中有关利用代数知识计算行列式的方法很多，但是应用微分学的方法来计算行列式却很少提起，然而应用泰勒公式求解行列式确实有效。相关文献泰勒公式是高等数学中个非常重要的内容,它将些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。文献主要介绍了泰勒公式在以下几个不同场合的应用泰勒公式在不等式证明中的应用众所周知泰勒公式在近似计算上有着独特的优势。利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求。在解决不等式证明的过程中，很多的时候我们对于不等式的比较难以直接地去比较，因为式子的两边难以直接进行比较，但是如果我们把在点的的值，用泰勒展开式进行展开,„„,通过这样的展开我们就可以具体地进行不等式的比较，那么我们的不等式的证明问题也就迎刃而解了。其实很多的时候我们在不等式证明的过程中最困难的原因是，我们难以找到个等式去联系左右两边的式子，但是很多的时候泰勒公式就是个很好的桥梁，他可以把个笼统的函数具体化。泰勒公式在求解高等数学问题中的应用泰勒公式是高等数学中的个重要公式，利用泰勒公式不仅能将些初等函数展成幂级数，进行函数值的近似计算，而且泰勒公式还是求解高等数学问题的个重要工具。很多的时候我们在遇到些求函数极限的问题的时候，我们发现有时候洛必达法则会比较地麻烦，可是如果我们用带皮亚诺型余项的泰勒公式解就比较简单，例如所求极限的分母为，如用洛必达法则，需连用次，就比较麻烦。但是我们如果能用泰勒公式把分子化成含有项的式子，那么就能够直接约去，那么我们的计算就简单多了。泰勒公式在求解函数极限中的应用泰勒公式常用的有两种形式的余项拉格朗日余项及带皮亚诺型余项。现用教材重点介绍了带拉格朗日余项的泰勒公式及在近似计算中的应用，而对带皮亚诺型余项在教材中只捎带提了下，并未说明公式在什么条件下成立，更没有谈及它的重要应用。其实，与拉格朗日型余项比较，带皮亚诺型余项自有它的特点条件宽松形式简单。用带皮业诺型余项的泰勒公式求函数的极限的步骤验证函数表达式中各函数是否满足泰勒公式的条件用泰勒公式确定分母无穷小的阶数再把分子上各函数写成阶泰勒公式展开式求极限总之，极限的概念抽象，计算的方法多，同时在计算极限时还有定的技巧性，因此利用带皮业诺型余项的泰勒公式求函数的极限，虽然条件特殊，但是求函数极限的个非常有力的工具，运用得当将发挥独特作用。泰勒公式在判断级数及积分