和或独立变量的估计和测量的影响知道如何将经济学中流行的功能形式为回归分析。个完整的理解的功能形式问题所需要的数学在附录了测量单位的变化的影响统计在例中，我们选择了测量数千美元的年薪，和净资产收益率是衡量百分之而不是个小数点。关键是要知道薪水和净资产收益率是衡量在这个例子中，为了使方程估计的意义。我们还必须知道，估计预期的方式改变时，完全的依赖和独立变量的测量单位的变化。在，假设，而不是千美元衡量的工资，我们衡量的美元。让工资以美元会被解释为美元当然，有数千美元的测量个简单的关系工资工资。我们不需要实际运行的对罗伊的回归知道估计方程为萨拉ˆ净资产收益率。我们得到的截距和斜率在简单地乘以拦截和边坡。这给出了方程和相同的解释。看，如果净资产收益率，然后萨拉ˆ，所以预测的工资美元我们得到的方程相同的值。此外，如果净资产收益率增加了个，然后预测的工资增加美元再次，这是我们从我们前面的分析方程。般来说，很容易找出发生了什么的截距和斜率的估计当因变量变化的测量单位。如果因变量乘以常数意味着每个样品中的值乘以截距和斜率的估计也乘以这是假设没有关于独立变量的变化。在首席执行官工资的例子，从工资。章简单的回归模型我们还可以使用首席执行官工资的例子来看看会发生什么，当我们改变的独立变量的测量单位。定义净资产收益率是净资产收益率的十进制数因此，意味着股本回报率。专注于改变的独立变量的计量单位，我们回到我们原来的因变量，工资，这是在数千美元计算。当我们回归的工资，我们获得萨尔ˆ进制。在系数是倍的系数对罗伊案。这是应该的。个百分点的变化的净资产收益率相当于。从，如果，然后萨尔ˆ进制，这是通过使用。请注意，从至，独立变量除以，并因此斜率估计乘以，保留方程的解释。般来说，如果自变量除以或乘以个非零常数那么斜率也乘以或除以分别。拦截并没有改变因为对应于零的股本回报率。般来说，唯的独立变量的变化不影响截距测量单位。在上节中，我们定义了为善良的回归拟合测量。我们也可以问发生什回归模型。然而，正如我们所见，般的模型也允许定的非线性关系。那么什么是线性的意思呢你可以看到在方程，美国最关键的是，这个方程中的参数是线性的，和。有关于和与原来的解释和利益的解释变量没有限制。当我们看见在例和，和可以是变量的天然原木，这是很常见的应用。但我们不需要停在那里。例如，没有什么能阻止我们使用简单的回归模型，如缺点公司的估计，其中的利弊是每年的消费和公司是年收而简单的回归力学不取决于和的定义，系数的解释取决于他们的定义。工作经验的成功，它是在解释系数比计算公式如成为高效成为精通更重要。我们将解释在回归线的估计，当我们研究多元回归得到更多的实践。有许多模型不能被转换为个线性回归模型，因为他们在参数不是线性的个例子是缺点这样的模型估计带我们进入非线性回归模型的境界，这超出了本文的范围。对于大多数应用程序，选择个可以放在线性回归模型是足够的。的预期值和方差估计在节中，我们定义了人口模型，我们认为是有用的简单回归分析的关键假设是预期的值给出任何的值是零。在部分，，和，我们讨论了最小二乘估计的代数性质。现在我们回到人口模型和的统计性质的研究。换句话说，我们现在看到的ˆ和ˆ作为参数估计，出现在人口模型。这意味着我们将研究的分布特性ˆ和ˆ在不同的随机样本的人口。附录中定义的估计和评价他们的些重要性质。的无偏性我们开始通过组简单的假定下的无偏性。作为未来的参考，它是有用的许多这些假设使用前缀单反简单线性回归。第个假设定义人口模型。么，当单位是独立或依赖变量的变化测量。不做任何代数，我们应该知道结果善良的模型拟合不应该依赖于我们的变量的测量单位。例如，变化的工资数额，由股本回报的解释，不应取决于工资是以美元或数千美元或是股本回报率是百分之或个十进制的测量。这种直觉可以验证数学使用的定义，它可以表明事实上，在或的单位不变将简单回归的非线性到目前为止我们侧重于依赖和独立的变量之间的线性关系。我们在章中提到的，线性关系不几乎适合所有经济上的应用。幸运的是，它是将许多非线性的简单回归分析，通过适当定义的依赖和独立变量而容易。在这里，我们将两种可能性，应用工作中经常出现。在阅读中应用原文文献见估计个模型如是直接使用简单回归的时候。只是定义因变量日志是工资。独立的变量是由教育代表。的力学和以前样的截距和斜率的估计是由公式和。换句话说，我们获得了和ˆˆ从日志回归工资对教育使用相同的数据，如例，但使用日志工资作为因变量，我们得到如下关系日志ˆ工资教育，。对教育的系数有个解释当它乘以工资增加百分之每增加年的教育。这就是经济学家们所说的回到年的教育。这是要记住，用工资的日志中的主要原因是重要的工资实施教育的恒定比例的影响。次方程得到的工资，自然对数是很少提及。特别是，它是不正确的说，年的教育可以增加日志工资。拦截是非常有意义的，因为它给出了预测的日志工资，当教育。表明教育解释变化在日志百分之工资而不是工资。最后，方程不可能捕捉到所有的非在工资和教育之间的关系的线性度。如果有文凭的影响，然后从高中毕业第十二年可以比第十年前更值钱。我们将学习如何让这种在章非线性。的自然对数的另个重要用途是在获得个恒定的弹性模型我们可以不断的弹性模型有关的首席执行官薪酬公司销售估计。该数据集是相同的个用于在例中，除了我们现在涉及工资销售。让销售年度公司销售，在百万美元来计算的。恒定的弹性模型，日志工资日志销售，在是工资与销售的弹性。这个模型属于简单回归模型下的定义因变量为日志工资和独立变量为日志销售。这个方程的估计部分横截面数据的回归分析日志ˆ元日志销售。，。系数的日志销售是估计的弹性工资相对于销售。这意味着，公司销售额的增加首席执行官工资通过对弹性通常的解释百分之增加百分之。两种功能形式覆盖这部分通常会在剩下的这段文字出现。我们已覆盖模型包含自然对数在这里因为他们过于频繁的应用工作。这些模式的解释将不在多元回归的情况有很大的不同。它也注意到截距和斜率的估计发生什么有用的如果我们改变的因变量的测量单位，当它出现在对数形式。因为变化的对数形式近似比例变化，这没有发生在边坡是有意义的。我们可以看到这写正变为每个观察岛原始方程是日志。如果我们增加日志两边，我们得到的日志日志日志界面日志日志界面。记住，日志的总和等于他们产品的日志作为附录所示因此，边坡仍然是，但拦截现在日志。同样，如果独立变量的日志，我们改变测量的单位在以对数斜率是相同的，但拦截不改变。你将被要求验证问题中的这些说法我们结束本小节总结四的功能形式可以从使用原始变量或其自然对数的组合。在表中，和代表在其原来的形式的变量。该模型与作为因变量，作为独立变量被称为等级模型，因为每个变量出现在其平面形式。日志模型作为因变量，作为独立的变量被称为日志级别模型。我们不会明确地讨论了对数模型，因为它是在实践中较少。在任何情况下，我们将在稍后的章节，该模型的例子。二简单的回归模型表表中的最后列给出了解释。在记录层次模型有时也被称为半弹性。我们在例中所提到的，在双对数模型，与。表值得认真研究的弹性，我们会把它经常在文本剩余的线性回归的意思我们在本章研究了简单的回归模型，也被称为简单的线,ˆˆ