其他边界条件下，齐次化原理同样成立。其他齐次边界条件下齐次化原理的应用在小节中，我们给出的齐次边界条件为,。其实在以下三种情况下，齐次化原理同样成立。西南交通大学本科毕业设计论文第页,,,由于以上边界条件都是齐次的，故都可以用分离变量法对相应的齐次方程进行求解，再运用齐次化原理得出非齐次方程的解。非齐次边界条件下齐次化原理的应用非齐次边界条件的非齐次方程这里要求,有阶连续导数，且。此方程为线性方程，故可以分解为中的方程以及故而方程的解为我们已经得出了所以只要求出方程的解即可。类似于波动方程中非齐次边界问题的求解，我们引入适当的变量把非齐次边界转化为齐次边界条件，再运用齐次化原理进行求解。令,显然，它是个满足方程中边界条件的函数。再令于是它满足于非齐次方程以及齐次初始条件西南交通大学本科毕业设计论文第页同时，显然满足齐次边界条件。因此根据叠加原理以及齐次化原理求出，进而由求出方程的解。小结西南交通大学本科毕业设计论文第页结论本论文主要是围绕齐次化原理在线性常微分方程波动方程以及热传导的求解过程中的应用展开讨论，并且就求解的相关方程证明了齐次化原理的可行性。每章节的最后都做了相应的推广，概要性地给出在其他情形下齐次化原理的应用。本文主要的工作有，分别用常数变易法以及齐次化原理求解出已知初始条件的阶线性微分方程的解，对比后可知两种方法求出的解是相同的。在线性微分方程中，对齐次化原理进行了推广，它在高阶线性微分方程以及方程组的求解中同样适用。用达朗贝尔解法求解出了波动方程用傅里叶变换求解出了热传导方程齐次情形初值问题的解，引出齐次化原理并对其进行证明，然后应用齐次化原理将非齐次初值问题转化成相应的齐次情形进行求解，再根据叠加原理，得到了非齐次情形下波动方程热传导方程初值问题的解。利用分离变量法求解出波动方程热传导方程齐次情形下初边值问题的解，再应用齐次化原理将非齐次情形的初边值问题进行求解。在波动方程热传导方程的非齐次边界条件下，对齐次化原理进行了概要性推广。当然，由于本身知识欠缺的问题，论文还有很多不足之处在常微分方程的求解中，齐次化原理还可以应用于常系数微分方程的求解本论文没有深入讨论在波动方程中，本论文只讨论了维的情形，齐次化原理可以推广到高维非齐次方程的求解中在热传导方程中，本文只探讨了简单的在非齐次边界条件下，如何将非齐次边界转化为齐次边界，进而利用齐次化原理进行求解，没有更深入的展开。本论文研究的齐次化原理适用于非齐次高阶线性常微分方程组波动方程以及热传导方程的求解，不乏般性，在常系数微分方程以及般的双曲方程抛物方程中，齐次化原理同样成立。故本论文具有定的研究价值以及实际意义。西南交通大学本科毕业设计论文第页致谢我的毕业论文经过十几个星期的不懈努力终于完成，在此，我首先要感谢我尊敬的导师杨晗教授，是他的耐心敦促与悉心教导才让我顺利完成这篇论文,同时也要感谢学院其他老师，因为他们无私奉献，循循善诱，给予了我很多的数学熏陶，让我感受到了数学之美。当然还有我那些可爱的同学们，他们热情大度，面对我提出的疑问都尽可能地给我解答。从最初的选题到资料文献的查阅再到论文框架的制定，杨晗老师都给出了很多宝贵的意见与建议，甚至细微到教我们如何查阅资料文献。对于我们论文完成的进度，老师更是认真负责，每周见面都会仔细检查我们的进度，并提出他的见解，督促我们完成指导纪要。对于论文中遇到的难题他总会很耐心地指导。温文尔雅是老师性格的深度，博学多才是老师智慧的广度，出类拔萃是老师学识的高度。感谢老师从大开始的悉心教导，从您身上看到的不仅仅是渊博的学识严谨的态度还有为人处世的那份从容与优雅，当然还有那份虔诚与上进。最后，对每位帮助过我的人，衷心地说声谢谢。也祝大家在今后的日子身体健康，万事如意，前程似锦，鹏程万里,西南交通大学本科毕业设计论文第页参考文献谷超豪李大潜陈恕行郑宋穆谭永基，数学物理方程，第二版，高等教育出版社，年月。曹春娟张翠英赵连生，线性偏微分方程的理论与应用，北京兵器工业出版社，年月。田立平，数学物理方程及其反问题研究，北京机械工业出版社，年月。方瑛徐忠昌，数学物理方程与特殊函数，北京科学出版社，年。美美李俊杰译，基础偏微分方程,高等教育出版社，年月。王高雄周之铭朱思铭王寿松，常微分方程，第三版，高等教育出版社，年月。林武忠汪志鸣张九超，常微分方程，北京科学出版社，年。向长合，齐次化原理的般形式，重庆师范学院学报自然科学版，年月，第卷第期。盛佩君，用齐次化原理解线性非齐次微分方程，工科数学，年月，第卷第期。徐利治孙广润，广义原理及其应用，曲阜师范大学学报，年月，第卷第期。西南交通大学本科毕业设计论文第页附录附录含参变量积分的微分公式证明证明由于根据微分和积分中值定理，可分别得到,其中，，因此有,令，因为,是连续的，故,证毕。附录傅里叶变换的基本性质性质傅里叶变换是线性变换，即对于任意的常数,，有性质平移性设是的傅里叶变换，为实常数，则性质相似性若是的傅里叶变换，为实常数，且，则西南交通大学本科毕业设计论文第页性质微分性假定连续且在,上分段光滑，当时，则当,均为绝对可积时，有。推广到高阶的情形，如果和它前阶导数连续，第阶导数分段连续，及其直到阶导数都绝对可积，并且当时和它前阶导数都趋于零，则,性质多项式性若,都在,上绝对可积，则性质卷积性函数叫做函数,在区间,上的卷积，则，则方程便可转化为，西南交通大学本科毕业设计论文第页,容易看出，与初值问题是同类问题，于是下面我们直接应用达朗贝尔求解公式求出方程的解，再替换变量得到的解，即。由达朗贝尔公式可知，的解为,于是根据齐次化原理，就得出初值问题的解，即下面验证是初值问题的解，由含参变量积分的微分公式，可得到，于是有，又容易得知于是可以证明，就是初值问题的解。综上可知，方程西南交通大学本科毕业设计论文第页的解由叠加原理可以表示为，在非齐次波动方程的初值问题求解中，首先将方程分解简化为泛定方程齐次初始条件非齐次及泛定方程非齐次初始条件齐次的两个方程。然后通过齐次化原理，将非齐次方程转化为相应的齐次方程，并且求出了齐次方程的解的表达式，即达朗贝尔公式。应用达朗贝尔公式及齐次化原理得出了非齐次的解的表达式。最后通过叠加原理，得出了方程的最终解的表达式。波动方程初边值问题的求解上节我们研究了在波动方程的初值问题中，如何运用齐次化原理将非齐次方程转化为相应的齐次方程进行求解的问题。在初边值问题中，齐次化原理同样成立。下面我们继续讨论在波动方程的初边值问题中，如何运用齐次化原理将非齐次方程转化为其相应的齐次方程，并求出方程解的表达式。齐次波动方程初边值问题的求解类似于上节初值问题的求解，我们先解决齐次方程初边值的求解问题。齐次波动方程的初边值问题具有以下形式