数学Ⅱ理科加试选做题本题包括四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤选修几何证明选讲本小题满分分如图，是上的点，过点的的切线与直线交于点，的平分线和，分别交于点，求证考点与圆有关的比例线段分析证明可得，即可证明结论证明∽，得，是的平分线，得，即可证明结论解答证明是的切线是的平分线，∽是的平分线选修矩阵与变换本小题满分分已知二阶矩阵有特征值及对应的个特征向量，并且矩阵将点，变换为求矩阵考点特征值与特征向量的计算分析设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论解答解设，特征值及对应的个特征向量，矩阵将点，变换为，解得，选修坐标系与参数方程本小题满分分以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度已知直线的参数方程是为参数，曲线的极坐标方程是写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程设直线与曲线相交于，两点，点为的中点，点的极坐标为，求的值考点简单曲线的极坐标方程分析消去参数得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线的直角坐标方程求出，的直角坐标，即可求的值解答解已知直线的参数方程是为参数，普通方程为，曲线的极坐标方程是，化为，由直线与抛物线方程，消去得设则的中点，又点的直角坐标为所以选修不等式选讲本小题满分分若实数满足，求的最小值考点二维形式的柯西不等式分析利用条件，构造柯西不等式，变形即可得答案解答解根据题意，实数满足，则有，即，即有即的最小值为故答案为必做题第题第题，每题分，共计分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明证明过程或演算步骤底面是正方形的四棱锥中中，侧面⊥底面，且是等腰直角三角形，其中分别为线段，的中点，问在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出点的位置若不存在，请说明理由考点二面角的平面角及求法分析取中点，连结，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，且解答解假设在线段上存在点，使得二面角的余弦值为取中点，连结，底面是正方形的四棱锥中中，侧面⊥底面，且是等腰直角三角形，其中，⊥平面，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，二面角的余弦值为解得，在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，且设为虚数单位，为正整数，∈，用数学归纳法证明已知，试利用的结论计算考点数学归纳法分析利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用利用的结论即可得出解答证明证明当时，左边右边，所以命题成立假设当时，命题成立，即，则当时，•当时，命题成立综上，由和可得，，年月日坐标，代入椭圆方程可解的值解答解如图，由题意代入椭圆由，整理得，解得椭圆的离心率故答案为已知是定义在上的函数，其导函数为，若则不等式其中为自然对数的底数的解集为考点函数的单调性与导数的关系分析构造函数，则，单调递增，不等式两边同乘得出，从而得出的范围解答解设，则，在上单调递增即故答案为在平面内动点，满足则的最大值是考点平面向量数量积的运算分析由可知是边长为的等边三角形，在以为圆心的圆上，建立坐标系，设出点坐标，求出的坐标，根据模长公式即可得出关于的函数，利用三角恒等变换求出此函数的最大值即可解答解是等边三角形，设的边长为，，在以为圆心，以为半径的圆上是的中点，以为轴，以的中垂线为轴建立坐标系，则设则，当时，取得最大值故答案为已知函数，关于的方程∈有四个不同的实数解，则的取值范围为，考点根的存在性及根的个数判断分析作函数的图象，从而可得，推出的范围即可求解结果解答解作函数的图象如下，结合图象可知故，令得，或，令得故∈故∈，故答案为，二解答题本大题共小题，共计分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤在中，角所对的边分别为，的面积为，求角的大小若求的值考点三角形中的几何计算分析利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解的大小即可由三角形的面积公式求出，再根据余弦定理即可求出的值解答解，由正弦定理可得，是三角形内角，≠是三角形内角，由余弦定理，可得，在正三棱柱中点是的中点，点在上，且求证∥平面求证平面⊥，于是，因为，所以点不可能在轴的右边，又直线，方程分别为，所以点在正方形内包括边界的充要条件为，即，即，解得，由得故直线斜率的取值范围是，已知数列的前项和为，∀∈满足，且，正项数列满足∈，其前项和为求数列和的通项公式令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围将数列，的项按照当为奇数时，放在前面当为偶数时，放在前面的要求进行排列，得到个新的数列求这个新数列的前项和考点数列的求和数列递推式分析数列的前项和为，∀∈满足，且，可得数列是等差数列，首项为，公差为利用通项公式可得利用递推关系即可得出正项