现例如图,点在上,点在上人教版数学半年及上册页例题意完成变式思考方向图形不变,引入新线段,思考新结论变式如图,点在上,点在上,与交于点,连接平分分析角形全等后对应边相等,对应角相等,这就为角的平分线证明提供解题思路,这是全等角形解题应用的另个应用层面,证明的方法也是多样的,为题多解的解题思维训学们零距离了,原来只要选择恰当的方法,抓住个合适的思考方向,创新思维就成为你的战利品,成功的创新会不断激励你走上更高层次的创新方式,不断形成自我数学智慧,提高数学问题解决的质量解图中相等的线段有以为例,给出证明证明在和中常态化如图,从地看,两地的视角是锐角⊥,⊥,垂足分别为,求证,规范推理证明因为⊥,⊥,所以在和中,所以≌所以变式思考方向图形不变,引入新字母,深入思考新结论变式如图研学例题变式思考提高数学素养原稿,在和中,所以≌,所以所以正确所以,由角形的外角性质得,所以,所以正确作⊥于,⊥于,如图所示,所以≌所以变式思考方向图形不变,变换已知与结论叙述方式,深入思考变式如图,从地看,两地的视角是锐角,从地到,两地的距离相等地到路段的距离与地到路段的距离相等吗为什么分析变换问题叙述方式也是数学变式思维的种变化方向,也是检验同学们对知识和中,连接,交于点,连接下列结论平分平分其中正确的个数为分析因为,所以,即母题变式思索变式思考方向图形不变,变换已知与结论,深入思考变式如图,点在上,点在上分析已知与结论的适当调换,解题方法不变角形全等法,但是解决问题所需要的知识却发生了改变,变为,从而实现深挖问题内涵,巩固不同知识的例题教学功效证明在和解决问题的办法后,接下来就是准备解决问题的所需知识,角形全等的判定定理适合所有的角形法值适合两个直角角形解题思路就可以确定了,思维导图具体如下直播解题证明在和中,所以≌所以解后反思题目特点有是两个角形有组完全中,所以≌所以变式如图,点在上,点在上证分析轮流调换已知与结论,解题方法不变角形全等法,但是解决问题所需要的知识却发生了改变,变为,从而实现深挖问题内涵,巩固不同知识的例题教学功效证明在和中,所例题习题是教材的重要组成部分,是数学学习的重要知识载体,也是学习数学解题方法,解题技巧的知识源头,更是提升数学素养,形成数学智慧的根本途径如何学习,掌握例题习题呢今天就谈谈这个话题课本母题溯源例题再现例如图,点在上,点在上人教版数学半年及上册页例题意上相交于点求证≌求证分析由,可得,从而将问题化归为母题,变式,问题自然得解证明因为所以即,在和中,所以≌所以,求证分析这是变式的再次变式的种,是展示数学创新和数学智慧的有效手段证明因为,所以,所以在和中,所以≌所以点评探究线段之间的关系,角之间的关系是数学学习中两种重要组成部分,不握准确度的有效方式,只有理解题意,把握内涵,才能确定方法,选择知识,规范推理,高效解决变式后,出现了两个相近度极高的概念,个是点对点的距离,意义为连接两点构成的线段长度个是点对线的距离,意义为点到直线的垂线段长度理解准这两个距离,才能有效解题解答时,分两步思维探解,叙述数学化,使得问题思考中,所以≌所以变式如图,点在上,点在上证分析轮流调换已知与结论,解题方法不变角形全等法,但是解决问题所需要的知识却发生了改变,变为,从而实现深挖问题内涵,巩固不同知识的例题教学功效证明在和中,所,在和中,所以≌,所以所以正确所以,由角形的外角性质得,所以,所以正确作⊥于,⊥于,如图所示,所以,所以可添加,此时满足添加条件,此时满足添加条件,此时满足解可以添加的条件或或点评这是道条件添加开放题,是数学创新题型的代表之,牢记全等角形的判定方法是解题的关键变式题变形选择题例滨州如图,研学例题变式思考提高数学素养原稿,所以在和中,所以≌所以因为≌,所以所以即在和中,所以≌点评正确寻找适当的全等角形是解题的关键研学例题变式思考提高数学素养原稿,在和中,所以≌,所以所以正确所以,由角形的外角性质得,所以,所以正确作⊥于,⊥于,如图所示,所以,所以因为所以≌所以点评将般角变式直角,利用互余关系提供角形全等需要的角元素是解题的关键这种般与特殊的解题思想也是数学学习的重要思想之变式图形,寻找新全等角形例江苏无锡如图,在中点分别在中的完全重合角改为部分角的重合,导致公共角相等这个隐含条件不能成立,从而为问题解决增加了难度,设置了障碍,为确保问题顺利求解,必须增加已知条件,于是就出现了这个新增条件,从而确保了问题依然能顺利求解解因为,所以,所以要掌握探究的方法,探究的技巧,更要掌握探究的智慧和遵循的基本策略将角特殊化例贵州省铜仁市如图⊥,⊥,且求证分析将般性条件特殊化也是数学创新的有效方式之证明因为⊥,⊥,所以,中,所以≌所以变式如图,点在上,点在上证分析轮流调换已知与结论,解题方法不变角形全等法,但是解决问题所需要的知识却发生了改变,变为,从而实现深挖问题内涵,巩固不同知识的例题教学功效证明在和中,所,在和中,所以≌,所以,所以平分,所以正确正确的个数有个解点评变式条件,探索结论将是数学学习与探究的重要内容,是数学创新精神的熠光体现变式题进中考例年淄博已知,在如图所示的风筝图案中,和中,连接,交于点,连接下列结论平分平分其中正确的个数为分析因为,所以,即意剖析证明线段相等,目前途径有两条,条是线段的中点把线段分成相等的两条较短线段,特点相等的线段必须在同条直线上条是全等角形的对应边相等,特点所求相等线段,可以在同条直线上,也可以不在同直线上回头看题目,所求相等线段不共线,且分布于两个不同角形中,看来证明两个角形全等是解决问题的根本途径,确在和中,所以≌所以此题可以从等角的角度继续探索新结论,感兴趣的读者可以尝试探究母题变式题走进中考舞台变母题为填空题例年邵阳如图,已知,请你添加个条件,使得≌,你添加的条件是不添加任何字母和辅助线分析因为,研学例题变式思考提高数学素养原稿,在和中,所以≌,所以所以正确所以,由角形的外角性质得,所以,所以正确作⊥于,⊥于,如图所示,所以提供锻炼平台此题最大的特点是有条完全重合的公共边证明易证公共边,所以≌,所以,所以平分还平分变式思考方向图形改变,变公共角完全重合为部分重合,思考新结论变式如图,分析将例和中,连接,交于点,连接下列结论平分平分其中正确的个数为分析因为,所以,即,所以≌所以所以即在和中,所以≌所以变式如图,点在上,点在上,与交于点图中有多少对相等的角已知除外并选择其中你最喜欢的对给出证明猜想与证明,请读者自点在上,点在上,与交于点图中有多少对相等的线段已知除外并选择其中你最喜欢的对给出证明分析添加个字母,赢得深度思考的机会,使得题目的性质发生了质的变化,由般性常态问题变身提升为猜想型创新问题,变单型问题解决为综合型问题解决,让创新这个抽象的概念变得与握准确度的有效方式,只有理解题意,把握内涵,才能确定方法,选择知识,规范推理,高效解决变式后,出现了两个相近度极高的概念,个是点对点的距离,意义为连接两点构成的线段长度个是点对线的距离,意义为点到直线的垂线段长度理解准这两个距离,才能有效解题解答时,分两步思维探解,叙述数学化,使得问题思考中,所以≌所以变式如图,点在上,点在上证分析轮流调换已知与结论,解题方法不变角形全等法,但是解决问题所需要的知识却发生了改变,变为,从而实现深挖问题内涵,巩固不同知识的例题教学功效证明在和中,所合的公共角,公共角定相等,为角形全等间接提供了个角元素即个,从而把知识的选择范围直接确定为种和极大提高了思维效率,知识的确定性高是角形组对应边的相交点恰好位于公共角的内部是交点处生成对较小角形,它们是否全等还有其他的线段相等吗为开启探索之路提供了广阔的思维空间学们零距离了,原来只要选择恰当的方法,抓住个合适的思考方向,创新思维就成为你的战利品,成功的创新会不断激励你走上更高层次的创新方式,不断形成自我数学智慧,提高数学问题解决的质量解图中相等的线段有以为例,给出证明证明在和中意剖析证明线段相等,目前途径有两条,条是线段的中点把线段分成相等的两条较短线段,特点相等的线段必须在同条直线上条是全等角形的对应边相等,特点所求相等线段,可以在同条直线上,也可以不在同直线上回头看题目,所求相等线段不共线,且分布于两个不同角形中,看来证明两个角形全等是解决问题的根本途径,确