微分方程丙高等数学数学分析丁高等数学概率统计微分方程数值解戊线性代数高等代数复变函数己数学分析常微分方程庚概率统计计算机基础数学模型辛计算机基础计算机网络数据库原理及应用同名课程必须同时考试,要求每位教师必须监考自己所任课程,且每天只监考门科目假设考试教室相对充足,且每人都希望尽早结束考试投入假期生活问该学期的期末考试最少要几天才能完成解设公共课高等数学线性代数概率统计计算机基础的课程编号分别为专业课数学分析高等代数常微分方程复变函数数学模型微分方程数值解数据库原理及应用计算机网络的课程编号分别为,以结点代表课程,以课程编号作为结点标记,构造课程图如果两门课程是由同名教师开设的,则将相应结点之间连条边,得到个图,使用最短的时间考试等价于对使用种颜色的染色对图进行正常的顶点染色,满足相邻的两点染不同的颜色,则同色的顶点可以安排在同天进行考试这样,每位教师就不会出现监考冲突的现象算法思想从顶点度数最小的顶点开始染色,找到不与其相邻的顶点并选择其中个顶点进行染色,再找与这两个顶点都不相邻的顶点集合,并对其中个顶点染色,直到找不到为止再找未染色的度数小的顶点,重复进行以上过程,直到所有顶点都已染色为止,程序结束按照以上算法对图染色,于是本题的种染色方案为点染红色点染绿色点染蓝色如图所示图课程图由以上的染色结果得到,即学院这学期的期末考试三天就可以完成具体安排可以为第天考高等数学复变函数数学模型数据库原理及应用第二天考线性代数概率统计数学分析计算机网络第三天考计算机基础高等代数常微分方程微分方程数值解例五名教师给八个班级,授课,教学要求可参照关联矩阵,其中中元素表示教师有班级的课程数,问天至少要安排几节课才能完成教学要求,并排出相应的课表解分别以,,为顶点构造二布图,,时,在和间连条边,得到图,天安排最少的课程数实际上就是对使用种颜色的边染色,由的定理可得算法思想从图的任条边染色,然后找到条不与其相邻的边进行染色,再找与两条边都不相邻的条边进行。在此我对老师的教育和培养表示衷心的感谢,同时我还要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关心和帮助，思想上的激励和启发，以及为我提供了良好的学习环境。最后，我要感谢我的家人在这些年来给予我的大力支持，还要感谢在起愉快的度过毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服个个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。色,直到没有可以染色的边为止再找条没有染色的边重复上述过程,直到所有边都已染色为止,程序结束按照以上的算法对图进行边染色,本题的种染色方案为,染红色染黑色染绿色染蓝色,染黄色如图所示图教学图于是天至少安排节课,按照以上染色情况可排出相应的课表如红色的第节上,黑色的第二节上,绿色的第三节上,蓝色的第四节上,黄色的第五节上,见表表课表安排节次班级教师第节第二节第三节第四节第五节结束语通过收集查阅大量的资料，本文总结归纳了平面图对偶图和色数的相关概念和定理，在此基础上分别探究了它们在实际生活中的应用。平面图对偶图和色数的应用很多，本文只是简单介绍了它们的几个典型应用，我们主要是体会其思想和方法。参考文献邦迪图论及其应用北京科学出版社,徐俊明图论及其应用北京中国科学技术大学出版社,史天治平面图与对偶原理长春师范学院学报王绍文图的染色问题综述北京机械工业学院学报胡作玄,王献芬从平面布线到瓦格纳猜想科学世界冯纪先图论中图的点数区数和边数高等数学研究陈博染色理论在教务工作中的两个应用阴山学刊,燕子宗,张宝琪图论及其应用重庆科技学院学报自然科学版张良震网络图论在集成电路设计中的应用安徽大学学报自然科学版伍小杰对偶原理在电力电子电路中的应用中国矿业大学电气电子教学学报刘真运用图论知识解决高中数学染色问题华南师范大学数学学习与研究学报致谢时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我四年来的学习收获，更让我学会了如何求学如何进行科学研究甚至如何做人。回想起四年的学习生活，有太多的人给我以帮助与鼓励，教导与交流。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意,首先，衷心感谢我的恩师副教授对我的悉心教诲和指导,在跟随老师的这段时间里，我不仅跟老师学到了许多专业知识，同时也学习到了他严谨求实丝不苟的治学态度和踏踏实实孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生边是无向边,有些边是有向边的图称为混合图定义设,为两个图同时为无向图或有向图,若且,则称为的子图,为的母图,记作若是的子图,且或,则称为的真子图若是的子图,且,则称为的生成子图定义两个图,和如果它们的结点间存在对应关系双射,而且这种对应关系也反映在表示边的结点对中如果是有向边则对应的结点对还保持相同的顺序,则称这两图是同构的,记作特别申明,本文所涉及到的图均指无向图平面图的相关概念和定理定义设图,是个无向图,如果能够把的所有结点和边画在平面上,且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点,就称是个平面图注意有些图从表面上看有几条边是相交的,但是改画之后,仍然是平面图图图图图定义设是个连通平面图,由图中的边所包围的区域,在区域内既不包含图的结点,也不包含图的边,这样的区域称为的个面,包围该面的诸边所构成的回路称为这个面的边界面的边界的回路长度称作该面的次数,记为定义路图,即每个点只与其相邻的个或个点相连,首位不连的平面图,如图个顶点,条边的路图用表示图定义圈图,即首尾相连的路图,如图个顶点,条边的圈图用表示图是非平面图图是非平面图图定义轮图,即圈图的中间还有个点,该点与圈上每个点有条连线的平面图,如图个顶点,条边的轮图用表示图定义完全图,即每两个顶点之间都有条边相连的平面图,如图个顶点,条边的完全图用表示图定义数图,即不包含圈的图,如图图定理欧拉定理设有个连通的平面图,共有个结点条边和个面,则欧拉公式成立定理设是个有个结点条边的连通简单平面图,若,则推论如果图,是连通的简单平面图,若,且每个区域至少由四条边围成,则有对偶图的相关概念定义给定平面图它具有面若有图,满足下列条件对于图的任何个面,内部有且仅有个结点对于图的面和的公共边界,有且仅有条边,使得且与相交当且仅当只是个面的边界时,存在个环与相交,则称是的对偶图定义若图的对偶图同构于,则称是自对偶图定理设是连通平面图的对偶图,和分别施煤气水和电分别用煤气管道水管和电线连接到间房子里,要求任何根线或管道不与另外的线或管道相交,能否办到经分析知,上面问题可以模型为如下偶图图问题转化为,能否把上面偶图画在平面上,使得边与边之间不会交叉该图有个结点,条边,此时,根据定理的推论知,此图不是平面图,即任何根线或管道不与另外的线或管道相交是不可能的对偶图理论的应用电力电子电路中包括很多电力电子器件,在对电路进行对偶变换时,需要将各种器件变成相应的对偶器件对于线性器件,具有对偶关系的器件包括电阻元件与电导元件,电容元件与电感元件,电压源与电流源等电力电子器件主要是非线性的开关器件,非线性电力电子器件的对偶定义为非线性器件的对偶,就是在其理想静态开关特性曲线上,电压轴与电流轴互换在动态特性方面,可控开通与可控关断呈对偶关系,可控开通与不可控开通也呈对偶关系同理,不可控开通与不可控关断,以及可控关断与不可控关断都是对偶的根据定义,表列出了几种常见开关器件的对偶器件表常见开关器件的对偶色数理论的应用运用图论知识解决高中数学染色问题例天津高考题如图,用种不同的颜色给四个格子染色,每个格子涂种颜色,要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的染色方法共有种图常规解法分种染色与种染色讨论,共种图论解法此题可以转化为路图的染色与染色问题,的染色方法数为所以,例的解答为例全国卷高考题如图,环形花坛分成,四块,现有种不同的花供选种,要求在每块里种种花,且相邻的块种不同的花,则不同的种法总数为图常规解法图论解法此题可以先假设中间也有种花,问题即转化为轮图的的染色问题,最后再除以中间的种不同染色方案即可所以,例的解答就为,例广东高考题如图,个地区分为个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同颜色现有种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种图常规解法分同花与不同花两种情况讨论或是枚举法,共种图论解法此题可以直接转化为轮图的的染色问题,解法为,由于点的着色与面的着色是等价的,所以我们将例至例中的问题转化为图中的图的染色问题,这为我们解决问题带来了方便特别是遇到些需要烦琐的枚举或是分多种类型进行思考的问题,图论方法也可以作为检验常规方法是否做对的个有效工具由此可见,利用图论知识解决高考中的染色问题会带来很大的方便,运用图论知识解决高中数学中的染色问题也是十分可行的染色理论在教务工作中的两个应用例学院学期开设高等数学线性代数概率统计计算机基础和的顶点数边数和面数,则设的顶点位于的面中,则定理设是具有个连通分支的平面图的对偶图,则设位于的面中,则,其中,同前色数的相关概念和定理图中顶点的着色定义图的种着色,即对无环图的每个顶点涂上种颜色,使相邻顶点涂不同的颜色定义对进行着色是可着色的,即能用种颜色给的顶点着色定义的色数,即是可着色的,但不是可着色的定理当且仅当为零图定理定理设中至少含有条边,则