顿定理来解决有限维线性空间直和分解的问题在这里，主要运用凯莱哈密尔顿定理得到些重要结论，因而可以使得向量空间中的直和分解使用范围扩大凯莱哈密尔顿定理数域上的矩阵为阶矩阵，它的特征多项式表示为，那么直和定理设是个关于数域上的维数为的线性空间，为上的线性变换，假设的特征多项式在数域上具有分解式，那么的直和分解表示为，，其中是数域上互为不相同的数，为上的恒等变换但是，这结论只存在于是复数域的时候现在我们将讨论当不是复数域的时侯有限维线性空间的直和分解定理假设是个在上的维线性空间，为上的线性变换，若的特征多项式的分解式如下所示，在数域上两两互素，那么的直和分解表示为，，定理假设是个在上的维线性空间，为上的线性变换，若的特征多项式的分解式如下所示，那么在上多项式没有根，所具有的直和分解如下所示在数域中互为不相同的数，是的恒等变换，而且，，，例求解在四维空间中有关矩阵的直和问题，其中矩阵所决定的线性变换表示为，已知的形式如下的特征多项式表示为，在数域上求得的特征值为，是不可约的，联系定理可以求得可以得知为的个基那么显然可以知道是和的直和除了以上的应用，凯莱哈密在你们的帮助下使我完成了大学四年的学业，也使我懂得了很多做人处事的道理，有你们的相伴，让我不在孤独和彷徨。在这里我再次衷心的向你们表示感谢。顿定理还可以应用在其他许多地方，该理论在力学中也经常被应用，具体可以去看文献弹性地基上任意厚度叠层板的弯曲问题和三维横观各向同性成层地基的传递矩阵解总结本文主要是把凯莱哈密尔顿定理的证法进行归纳，并且对该定理的应用进行了归纳研究，从中我们可以看出证明凯莱哈密尔顿定理的方法有很多，且各种方法都不尽相同本文中所提到的证明方法都有其各自的特点，凯莱哈密尔顿定理的应用也是很广泛的，通过分析各自应用的特点，快速抓住掌握问题的实质，理解该定理如何应用，然后举相关的例子，更好的进行理解参考文献杨艳，刘合国定理的有理证明湖北大学学报自然科学版钱正方定理及最小多项式公式的简明证法成都电讯工程学院学报，栗裕，郭红梅二阶方阵的平方根解法探究黄冈师范学院学报，党平安，朱玉卿，王华军关于奇异矩阵的定理天中学刊，常福全用定理直接求方阵的预解矩阵浙江工学院学报，张宝善，沈雁有限维线性空问直和分解问题的新探索南京审计学院学报，高荣誉弹性地基上任意厚度叠层板的弯曲问题建筑结构，艾智勇，成怡冲三维横观各向同性成层地基的传递矩阵解岩土力学，，，，致谢时光匆匆，转眼即逝，四年的大学生活也到了头，回想这短暂的四年，我们有过快乐，也有过忧愁，在大学里我们有过真诚的青春，纯真的岁月，校园里留着我们的美好记忆，在毕业论文完成之际，也就意味着我们即将踏入社会。在这里，我非常感谢我的指导老师杨浩波老师。选好题后，在杨老师的悉心指导下我开始进行了选取资料，选好资料后，杨老师又指导了我如何完成外文翻译，文献综述，开题报告，也教会了我如何完成毕业论文，在老师的耐心教导下，我顺利的完成报告了。同时，我也要感谢我的同学和其他老师，把上述矩阵记为，，当时假设对于阶矩阵来说因而，可以推得把代入上式可以得到因而证明完毕利用伴随矩阵证明凯莱哈密尔顿定理记矩阵为阶矩阵，那么设是特征矩阵的伴随矩阵，中每个元素的代数余子式都为的次多项式那么可以假设可以表示为那么因而从上面可以得知和可以互换，也就说明式是有意义的将，，代人上面的式子，整理得到因而可以推出证明完毕除了上面所知道的证明，我们在有关高等代数的书籍中常常可以看的用块，块来证明凯莱哈密尔顿定理凯莱哈密尔顿定理的应用凯莱哈密尔顿定理在高等代数证明题上的应用例矩阵是阶方阵，证明可逆的充要条件为的特征多项式中常数项非零当是可逆的，证明的多项式可以由的逆矩阵和伴随矩阵来表示解对于问题的证明设矩阵的特征多项式表示为根据凯莱哈密尔顿定理已知当时，可以得到从而推得可逆的条件为的常数项不为对于问题的证明由上述证明可得当可逆时，的常数项，由式子可以得出所以例已知，分别为阶和阶方阵，并且和没有公共的特征根，证明有且只有个解证明设为方阵的特征多项式，为方阵的特征多项式为的特征根，那么的特征根则表示为，由凯莱哈密尔顿定理得设，由特征根，以及得到故利用凯莱哈密尔顿定理求解二阶方阵的平方根在矩阵的相关应用中，快捷地，正确的判断出个矩阵有没有平方根矩阵甚至知道怎么求解矩阵的解，是十分有意义的数量方程的与矩阵方程有相似的形式，但它们的根的唯性存在性解的结构及性质等各方面的差异却是很大所以简单地将数量方程得到的结果直接套用到矩阵的方程上是不行的，如在复数域上，数量方程是定存在着解的，矩阵方程却不定存在着解，或者是有可能有无限个的解，并且解如果不为零，那么也可能是幂零的对于矩阵方程解的求法，我们可以通过凯莱哈密尔顿定理来实现设矩阵是数域上的阶方阵，根据凯莱哈密尔顿定理可以得到设矩阵是数域上的二阶方阵，为矩阵的迹矩阵是矩阵的平方根，则将式子代入到上式，可以消去，得到式子根据可以得到然后，我们可以将矩阵分为是不是数量矩阵来进行研究矩阵为数量矩阵如果矩阵为数量矩阵，那么，则当时般解的形式为，当时得出矩阵为数量矩阵，那么只会存在对解矩阵不是数量矩阵如果矩阵不为数量矩阵，那么定不为零，所以可以假设每个平方根的表达式为，那么可以得到式子我们知道矩阵不为数量矩阵，那么不可能为零矩阵，于是当，时当，时当时当时如果，那么必有，与已知假设相违背，因而可以得出矩阵没有平方根例求解矩阵的平方根，表示为矩阵不是个数量矩阵，且，，那么矩阵的平方根为，并且当时，可以得出是的特征根与已知条件，没有公共的特征根相违背，因而对于任意的都存在所以是可逆矩阵对式子进行变换得从而又因为可逆，所以推得凯莱哈密尔顿定理在高等代数计算题上的应用利用凯莱哈密尔顿定理求解逆矩阵在高等代数中我们学过逆矩阵的解法，常用的种解法为根据公式求解逆矩阵用这种方法求解首先判断是否为零，若不为零再求得，最后求得逆矩阵用凯莱哈密尔顿定理可以更方便的求解逆矩阵设矩阵为数域上的个阶方阵，根据凯莱哈密尔顿定理可以得知那么矩阵的特征多项式为假设矩阵是可逆的，那么矩阵的特征多项式的常数项于是所以可以求得可逆矩阵例矩阵是数域上的阶矩阵，求矩阵的逆矩阵解的特征多项式表示为解得，那么矩阵是可逆的于是有利用凯莱哈密尔顿定理求解方阵高次幂问题在高等代数中我们曾学过如何求解方阵高次幂的问题，矩阵是数域上的阶方阵，令，那么，现在我们也可以用凯莱哈密尔顿定理来求解方阵高次幂巧用凯莱哈密尔顿定理我们可以更方便快捷地求得方阵的高次幂的例设求假设所要求的是矩阵的次幂矩阵，则当时，得到，当时，得到对进行求导得到当时，可得到，进行依次求导，可以得知，其他常数项都为零那么可以表示为于是根据凯莱哈密尔顿定理得知必有，所以那么例设求的特征多项式为利用上三角矩阵证明凯莱哈密