钟善基初等数学概论北京知识出版社,•贝肯巴赫•贝尔曼不等式入门北京北京大学出版社,波利亚•舍贵数学分析中的问题和定理上海上海科学技术出版社，左宗明世界数学名题选讲上海上海科学技术出版社,匡继昌常用不等式山东山东科学技术出版社,陈计,叶中豪初等数学前沿南京南京教育出版社,,,仿此推之，对任何正整数可得现设,并令,则,即亦即易知,当且仅当时等号成立柯西所使用的方法,其实是数学归纳法基本技巧的变形在柯西的启发下得到了以下几种证明方法证明首先利用数学归纳法证明不等式对所有形如,的整数成立当时,,不等式是成立的,且时等号成立现在假设不等式对的整数成立,即，其中,令第页，,,则,仍是正数，应用上面的不等式,得,但代入不等式即得这就证明了对的整数也成立于是，根据归纳原理，不等式对所有形如,的整数都成立逐步调整法首先建立下面的简单结论引理正实数与的和为定值,则当差愈小时乘积愈大,特别当时最大证明因为所以由此看出当愈小时减数愈小,因而差愈大,于是乘积愈大特别当时,差最大,因而乘积最大例个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题证明相关命题例用柯西不等式推导点到直线的距离公式已知点,及直线,设点是直线上的任意点,则点两点间的距离就是点到直线的距离,求式有最小值,有由得即当且仅当式取等号,点到直线的距离即第页应用柯西不等式求最值例已知实数,满足,,试求的最值解由柯西不等式得，有即由条件可得解得，当且仅当时等号成立,代入时，时,柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的,在复数范围内同样也有柯西不等式成立定理若,和,是两个复数序列，则有，当且仅当数列和成比例时等式成立证明设是复数，有恒等式第页若其中,则有由此推出了复数形式的柯西不等式第页参考文献现在利用逐步调整法来证明不等式证明设若,则第页若,不全相等,不妨设,令,,,则仍有且由引理知因而,若,,,仍不全相等,则可用上面的方法,把这组正数调整为使它们的和不变,但有如此下去,经有限步后,必可调整到组新数,使得，从而所以微分法先证明个引理引理设,那么,当且仅当时取等号证明设则,令得,因为,所以函数在区间,内只有个极值点,因此在有,于是,即,当且仅当时取等号分别取引理中的为,则有，第页，，，上述个式子相乘得即故式成立且当且仅当时等号成立柯西不等式的应用柯西不等式是个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使些较为困难的问题迎刃而解，并且恒成立,所以即当且仅当,即时等号成立第页简单情形先讨论这情形例设那么,当且仅当时等号成立证明如下图设,,显然三角形与三角形的面积之和不小于矩形的面积令,可得二维已证，四维时八维时这样的步骤重复次之后将会得到令由这个不等式有即得到第页般情形排序不等式法为了讨论个正数,的平均值之间的关系，先介绍些有关的知识和结论对于任意两列数,④作和,其中,分别是,④的任排列现在，要确定在所有可能的这种和数中怎样的和最大怎样的和最小引理排序原理给定的两列数,④设,则在所有的和数中最大最小且两者相等的充要条件是或者证明若所有的相等或所有的相等,则切和数都等于和因而引理得证今设中有不相等的数,例,考察这两个和数中仅与互换了位置其它各项不变,于是从此式可看出若全不相等,则必存在,从而此时,当然最小最大若,则若则这表明,的大小关系次序相同时的和数要比它们的大小次序相反时的和数来的大由此推知当与同序时和数最大而当,反序时和数最小于是最大第页最小引理设,为任意正数，则它们的算术平均值和几何平均值满足,当且仅当时等号成立证明令,,显然与反序,且当在从大到小排在第位时，在中从小到大也排在第位,故由排序原理知是这种形式的和数中最小的于是此即柯西不等式法数学归纳法例求证证明因为,同理第页于是安阳师范学院本科学生毕业论文柯西不等式的几种证明方法作者系院专业年级学号指导教师论文成绩日期学生诚信承诺书本人郑重承诺所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名日期论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留使用学位论文的规定，即学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印缩印或其他复制手段保存论文。签名导师签名日期第页柯西不等式的几种证明方法冯安阳师范学院学院,河南安阳摘要文章首先给出了柯西不等式在时的简单证明，然后给出了般柯西不等式的四种不同的证明方法，包括排序不等式法三种归纳证明法逐步调整法微分法最后，对柯西不等式加以推广关键词柯西不等式数学归纳法微分法引言年对不等式用反数学归纳法给出了个精彩的证明,此后,对不等式寻求各种不同的证明方法,直是人们研究的个热点在证明的过程中产生了许多新的数学思想，鉴于此，文章将介绍它的四种证明方法及在些方法中蕴涵的其它些问题这是个关于自然数的命题，所以文章将从简单情形到般情形进行讨论证明定义柯西不等式等号当且仅当或时成立为常数，,现将它的证明介绍如下证明构造二次函数因为并钟善基初等数学概论北京知识出版社,•贝肯巴赫•贝尔曼不等式入门北京北京大学出版社,波利亚•舍贵数学分析中的问题和定理上海上海科学技术出版社，左宗明世界数学名题选讲上海上海科学技术出版社,匡继昌常用不等式山东山东科学技术出版社,陈计,叶中豪初等数学前沿南京南京教育出版社,,,个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题证明相关命题例用柯西不等式推导点到直线的距离公式已知点,及直线,设点是直线上的任意点,则点两点间的距离就是点到直线的距离,求式有最小值,有由得即当且仅当式取等号,点到直线的距离即第页应用柯西不等式求最值例已知实数,满足,,试求的最值解由柯西不等式得，有即由条件可得解得，当且仅当时等号成立,代入时，时,柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的,在复数范围内同样也有柯西不等式成立定理若,和,是两个复数序列，则有，当且仅当数列和成比例时等式成立证明设是复数，有恒等式第页若其中,则有由此推出了复数形式的柯西不等式第页参考文献